Derivada de una función
La derivada de una función representa la tasa de cambio instantánea de una
función
en un punto específico. En otras palabras, la derivada mide cómo cambia el
valor de una función en respuesta a un cambio infinitesimal en su variable
independiente. Dada una función \(y=f(x)\), la derivada de \(f(x)\) con
respecto a \(x\) se denota comúnmente como \(f'(x)\) o como \(dy/dx\).
La derivada se define como el límite cuando el cambio en \(x\) tiende a cero
de la razón de cambio promedio, y se expresa matemáticamente como:
\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Si este límite existe, la función es diferenciable en ese punto, y la derivada
proporciona la tasa de cambio instantánea en ese punto.
La derivada tiene varias interpretaciones, incluyendo la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de una función en un punto, así como la velocidad
instantánea de un objeto en movimiento, si la función representa la posición
del objeto en función del tiempo.
Propiedades de la derivada de una función
Las propiedades de la derivada, esenciales en cálculo, son reglas matemáticas
que simplifican el cálculo de la derivada de una función. Las más destacadas
incluyen la linealidad, que establece que la derivada de una suma o resta de
funciones es la suma o resta de las derivadas individuales; la regla del
producto y del cociente, que ofrecen fórmulas para derivar productos y
cocientes de funciones respectivamente; y la
regla de la cadena, crucial para derivar funciones compuestas. A continuación, te presentamos
de manera detallada y con ejemplos cada una de estas propiedades.
Derivada de una función constante
Propiedad 1. Derivada de una función constante. Si \(f\) es una función
constante, es decir, \(f(x)=k\), entonces: \[f'(x)=0\] En otra notación:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}k\\&=0\end{aligned}\]
Esta propiedad establece que la derivada de una función constante es igual a
cero.
Derivada de una función constante ejemplos
Ejemplo 1. Calcular la derivada de la función constante \(f\) definida como:
\[f(x)=5\] Solución: De acuerdo con la propiedad 1, la derivada de una función
constante es igual a cero, por lo tanto:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}5\\&=0\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Hallar la derivada de la función constante \(g\) definida como:
\[g(x)=\pi\] Solución: De acuerdo con la propiedad 1, la derivada de una
función constante es igual a cero, de tal manera que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}\pi\\&=0\end{aligned}\]
Derivada del producto de una constante por una función
Propiedad 2. Regla del múltiplo constante. Si \(c\) es una constante de valor
real y \(f\) es una función derivable en \(x\), entonces: \[(c\cdot
f)'(x)=c\cdot f'(x)\] En otra notación:
\[\frac{d}{dx}\left[c\cdot f(x)\right]=c\cdot\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]\]
Esta propiedad establece que la derivada del producto de una constante por una
función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.
Derivada de una constante por una función ejemplos
Ejemplo 3. Calcular la derivada de la función \(f\) definida como:
\[f(x)=5x^2\] Solución: Observa que la función \(f\) está definida por
\(f(x)=5x^2\). Esta función la podemos interpretar como el producto de la
constante \(c=5\) por la función \(g(x)=x^2\), de la siguiente manera:
\[\begin{aligned}f(x)&=5x^2\\&=c\cdot g(x)\end{aligned}\] Esta
observación es importante porque nos permite identificar el factor constante
en el producto. Aplicando la propiedad 2, obtenemos:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}5x^2\\&=5\left[\frac{d}{dx}x^2\right]\end{aligned}\]
Hasta este punto, la derivada de la función \(f\) no está completamente
calculada, ya que el propósito de este ejemplo fue mostrar cómo identificar el
factor constante.
La siguiente propiedad nos proporciona la regla para derivar \(x\) elevada a
cualquier exponente de número real.
Ejemplo 4. Obtener la derivada de la función \(g\) definida como:
\[g(x)=\frac{3}{2}x^5\] Solución: Observa que la función \(g\) definida como
\(g(x)=\frac{3}{2}x^5\) la podemos interpretar como el producto de la
constante \(c=\frac{3}{2}\) por la función \(h(x)=x^5\), de la siguiente
manera: \[\begin{aligned}g(x)&=\frac{3}{2}x^5\\&=c\cdot
h(x)\end{aligned}\] Nuevamente, esta observación es importante ya que nos
permite identificar el factor constante en el producto. Aplicando la propiedad
2, obtenemos que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}\frac{3}{2}x^5\\&=\frac{3}{2}\left[\frac{d}{dx}x^5\right]\end{aligned}\]
Al igual que en el ejemplo 3, la derivada de la función \(g\) no está
terminada, ya que el objetivo de este ejemplo fue ver cómo identificar el
factor constante para aplicar de manera correcta la propiedad 2.
Derivada de una potencia
Propiedad 3. Derivada de la función potencia. Si \(f\) es una función definida
por \(f(x)=x^n\) donde \(n\) es cualquier número real distinto de cero,
entonces:\[f'(x)=nx^{n-1}\] En otra notación:\[\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\] Esta
propiedad establece que la derivada de \(x\) elevada a cualquier exponente de
número real, es igual al exponente multiplicado por \(x\) elevado al exponente
menos uno.
Derivada de una potencia ejemplos
Ejemplo 5. Calcular la derivada de la función \(g\) definida como:
\[g(x)=x^2\] Solución: Observa que la función \(g\) está definida como
\(g(x)=x^2\), donde la variable \(x\) está elevada al cuadrado, es decir, al
exponente 2. Por lo tanto, aplicando la propiedad 3, obtenemos:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}x^2\\&=2x^{(2-1)}\\&=2x^1\\&=2x\end{aligned}\]
Con este resultado, podemos concluir el ejercicio 3 que había quedado
incompleto:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}5x^2&=5\left[\frac{d}{dx}x^2\right]\\&=5\left[2x\right]\\&=10x\end{aligned}\]
Ejemplo 6. Calcular la derivada de la función \(h\) definida como:
\[h(x)=x^5\] Solución: Para resolver este ejercicio, observa que en la función
\(h\) está definida como \(h(x)=x^5\), en la que la variable \(x\) está
elevada a la quinta potencia. Por lo tanto, aplicando la propiedad 3,
obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}x^n&=\frac{d}{dx}x^5\\&=5x^{5-1}\\&=5x^4\end{aligned}\]
Con este resultado, podemos concluir con el ejercicio 4 que había quedado
incompleto:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\frac{3}{2}x^5&=\frac{3}{2}\left[\frac{d}{dx}x^5\right]\\&=\frac{3}{2}\left[5x^4\right]\\&=\frac{15}{2}x^4\end{aligned}\]
Derivada de la raíz cuadrada
Ejemplo 7. Calcular la derivada de la función \(f\) definida como:
\[f(x)=\sqrt{x}\] Solución: De acuerdo con las
propiedades de los radicales, la función \(f\) definida por \(f(x)=\sqrt{x}\) se puede escribir como:
\[f(x)=x^{\frac{1}{2}}\] De esta observación, la variable \(x\) está elevada
al exponente \(\frac{1}{2}\). Por lo tanto, aplicando la propiedad de la
derivada de una potencia, se obtiene lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\sqrt{x}\\&=\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}x^{\left(\frac{1}{2}-1\right)}\\&=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{aligned}\]
Ejemplo 8. Calcular la derivada de la función \(g\) definida como:
\[g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\] Solución: De acuerdo con las propiedades de los
exponentes, la función \(g\) definida por \(g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) se puede
escribir como: \[g(x)=x^{-\frac{1}{2}}\] De esta observación, el exponente de
la variable \(x\) es la fracción \(-\frac{1}{2}\). Por lo tanto, aplicando la
propiedad de la derivada de una potencia, obtenemos:
\begin{aligned}\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{x}}\\&=\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}\\&=-\frac{1}{2}x^{\left(-\frac{1}{2}-1\right)}\\&=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=-\frac{1}{2}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\\&=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^3}}\\&=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}\end{aligned}
Derivada de una suma de funciones
Propiedad 4. Derivada de una suma de funciones. Si \(f\) y \(g\) son funciones
derivables en \(x\), entonces:
\[(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\]
En otra notación:
\[\frac{d}{dx}\left[f(x)+g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)\]
Esta propiedad establece que la derivada de una suma de funciones es igual a
la suma de las derivadas de cada una de las funciones por separado.
Derivada de una suma de funciones ejemplos
Ejemplo 9. Calcular la derivada de la función \(f\) definida como:
\[f(x)=x^2+5x+3\] Solución: Aplicando la propiedad de la derivada de una suma
de funciones, obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\left[x^2+5x+3\right]\\&=\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}5x+\frac{d}{dx}3\\&=\frac{d}{dx}x^2+5\left(\frac{d}{dx}x\right)+\frac{d}{dx}3\\&=2x^{(2-1)}+5\left(1\cdot
x^{(1-1)}\right)+0\\&=2x^1+5\left(1\cdot
x^0\right)\\&=2x+5\left(1\cdot
1\right)\\&=2x+5(1)\\&=2x+5\end{aligned}\]
Ejemplo 10. Calcular la derivada de la función \(g\) definida como:
\[g(x)=x^3+4x\] Solución: Al aplicar la propiedad de la derivada de una suma
de funciones, se obtiene lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}\left[x^3+4x\right]\\&=\frac{d}{dx}x^3+\frac{d}{dx}4x\\&=\frac{d}{dx}x^3+4\left(\frac{d}{dx}x\right)\\&=3x^{(3-1)}+4\left(1\cdot
x^{(1-1)}\right)\\&=3x^2+4\left(1\cdot
x^0\right)\\&=3x^2+4\left(1\cdot 1\right)
\\&=3x^2+4(1)\\&=3x^2+4\end{aligned}\]
Derivada de una resta de funciones
Propiedad 5. Derivada de una resta de funciones. Si \(f\) y \(g\) son
funciones derivables en \(x\), entonces:
\[(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)\]
En otra notación:
\[\frac{d}{dx}\left[f(x)-g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)\]
Esta propiedad establece que la derivada de una resta de funciones es igual a
la resta de las derivadas de cada una de las funciones involucradas por
separado.
Derivada de una resta de funciones ejemplos
Ejemplo 11. Calcular la derivada de la función \(f\) definida como:
\[f(x)=x^5-x-11\] Solución: Al aplicar la propiedad de la derivada de una
resta de funciones, se obtiene lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\left[x^5-x-11\right]\\&=\frac{d}{dx}x^5-\frac{d}{dx}x-\frac{d}{dx}11\\&=5x^{(5-1)}-\left(1\cdot
x^{(1-1)}\right)-0\\&=5x^4-\left(1\cdot
x^0\right)\\&=5x^4-\left(1\cdot 1\right)\\&=5x^4-1\end{aligned}\]
Ejemplo 12. Calcular la derivada de la función \(h\) definida como:
\[h(x)=x-3\] Solución: Aplicando la propiedad de la derivada de una resta de
funciones, obtenemos:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}h(x)&=\frac{d}{dx}\left[x-3\right]\\&=\frac{d}{dx}x-\frac{d}{dx}3\\&=1\cdot
x^{(1-1)}-0\\&=1\cdot x^0\\&=1\cdot 1\\&=1\end{aligned}\]
Derivada de un producto de funciones
Propiedad 6. Derivada de un producto de funciones. Si \(f\) y \(g\) son
funciones derivables en \(x\), entonces:
\[(f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
En otra notación:
\[\frac{d}{dx}\left[f(x)\cdot
g(x)\right]=\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]g(x)+f(x)\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]\]
Esta propiedad establece que la derivada del producto de dos funciones es
igual a la suma del producto de la derivada de la primera función por la
segunda, más el producto de la primera función por la derivada de la segunda
función. En otras palabras, la derivada del producto de dos funciones es igual
a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la
primera función por la derivada de la segunda función.
Ejemplo 13. Hallar la derivada de un producto de dos funciones. Supongamos que
tenemos dos funciones, \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=\sin(x)\), y queremos encontrar
la derivada de su producto, es decir: \[h(x)=f(x)g(x)\] Para hacerlo,
aplicamos la regla del producto, que establece que la derivada del producto de
dos funciones es igual al producto de la derivada de la primera función por la
segunda función, más la primera función por la derivada de la segunda función,
es decir:
\[h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
Calculando las derivadas de las funciones, obtenemos:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}x^2\\&=2x\\\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}\sin{x}\\&=\cos{x}\end{aligned}\]
Ahora, aplicando la regla del producto obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}h'(x)&=f’(x)g(x)+f(x)g(x)\\&=2x\sin{x}+x^2\cos{x}\end{aligned}\]
Concluimos que la derivada de la función \(h(x)=x^2\sin{x}\) es:
\[h'(x)=x^2\cos{x}+2x\sin{x}\]
Ejemplo 14. Obtener la derivada del producto de dos funciones trigonométricas.
Supongamos que tenemos las funciones \(f(x)=cos(x)\) y \(g(x)=tan(x)\), y
queremos encontrar la derivada de su producto, es decir, de la función
\(h(x)\) definida como: \[h(x)=f(x)g(x)\] Para hallar la derivada, aplicamos
la regla de la derivada de un producto de funciones, la cual establece que:
\[h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
Calculando la derivada de cada una de las funciones involucradas en el
producto, obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\cos{x}\\&=-\sin{x}\\\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}\tan{x}\\&=\sec^2{x}\end{aligned}\]
Ahora, aplicando la regla del producto obtenemos:
\[\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\&=(-\sin{x})\tan{x}+\cos{x}\sec^2{x}\end{aligned}\]
De esta manera concluimos que la derivada de la función
\[h(x)=\cos{x}\tan{x}\] Es
\[h'(x)=\cos{x}\sec^2{x}-\sin{x}\tan{x}\]
Derivada de un cociente de funciones
Propiedad 6. Derivada de un cociente de funciones. Si \(f\) y \(g\) son
funciones derivables en \(x\), entonces:
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\]
En otra notación:
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]g(x)-\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\]
Esta propiedad establece que la derivada de una división de dos funciones es
igual a (la derivada de la función del numerador multiplicada por la función
del denominador) menos (la función del numerador multiplicada por la derivada
de la función del denominador), todo esto dividido entre el cuadrado de la
función del denominador.
Ejemplo 15: Calcular la derivada de la siguiente función:
\[h(x)=\frac{3x^2+2x}{2x+1}\] Solución: Para hallar la derivada de esta
función, aplicamos la regla de la derivada de un cociente, la cual establece
que:
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\]
En este caso, sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas como:
\[\begin{aligned}f(x)&=3x^2+2x\\g(x)&=2x+1\end{aligned}\] Calculando
la derivada de cada función obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}(3x^2+2x)\\&=\frac{d}{dx}3x^2+\frac{d}{dx}2x\\&=3\frac{d}{dx}x^2+2\frac{d}{dx}x\\&=3(2x)+2(1)\\&=6x+2\\\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}(2x+1)\\&=\frac{d}{dx}2x+\frac{d}{dx}1\\&=2\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}1\\&=2(1)+0\\&=2\end{aligned}\]
Ahora, aplicando la fórmula de la derivada del cociente, obtenemos:
\[\begin{aligned}\left(\frac{f}{g}\right)'(x)&=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\\&=\frac{(6x+2)(2x+1)-(2)(3x^2+2x)}{\left(2x+1\right)^2}\end{aligned}\]
Concluimos que la derivada de la función \(h\) definida como:
\[h(x)=\frac{3x^2+2x}{2x+1}\] Es
\[h'(x)=\frac{(6x+2)(2x+1)-(2)(3x^2+2x)}{\left(2x+1\right)^2}\]
Aplicando las propiedades de las derivadas resolver los siguientes ejercicios
Ejercicio 1. Hallar la derivada de la siguiente función: \[h(x)=x^2+5x\]
Solución: Sean \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=5x\), de acuerdo con la propiedad de la
derivada de una suma de funciones se cumple que:
\[(f+g)’(x)=f’(x)+g’(x)\]
Por lo tanto:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left(x^2+5x\right)&=\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}5x\end{aligned}\]
Para hallar la derivada de la función \(f(x)=x^2\) utilizamos la regla de la
potencia, que establece que: \[\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\] De tal manera que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}x^2&=2x^{2-1}\\&=2x^1\\&=2x\end{aligned}\]
Ahora, para hallar la derivada de la función \(g(x)=5x\) utilizamos la regla
de la derivada de una constante por una función, que establece que: \[(c\cdot
f)'(x)=c\cdot f'(x)\] De tal manera que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}5x&=5\frac{d}{dx}x\\&=5\cdot1\\&=5\end{aligned}\]
Por lo tanto, concluimos que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left(x^2+5x\right)&=\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}5x\\&=2x+5\end{aligned}\]
Ejercicio 2. Obtener la derivada de la siguiente función:
\[h(x)=\sin(x)\cos{x}\] Solución: Sean \(f(x)=\sin{x}\) y \(g(x)=\cos{x}\), de
acuerdo con la propiedad de la derivada de un producto de funciones, se cumple
que:
\[(f\cdot g)’(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
De tal manera que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left(\sin{x}\cdot\cos{x}\right)&=\left(\frac{d}{dx}\sin{x}\right)\cos{x}+\sin{x}\left(\frac{d}{dx}\cos{x}\right)\end{aligned}\]
Las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones trigonométricas, las derivadas
de estas funciones trigonométricas son:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\sin{x}&=\cos{x}\\\frac{d}{dx}\cos{x}&=-\sin{x}\end{aligned}\]
Por lo tanto, concluimos que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left(\sin{x}\cdot\cos{x}\right)&=\left(\frac{d}{dx}\sin{x}\right)\cos{x}+\sin{x}\left(\frac{d}{dx}\cos{x}\right)\\&=\cos{x}\cos{x}+\sin{x}(-\sin{x})\\&=\cos^2{x}-\sin^2{x}\end{aligned}\]
Ejercicio 3. Hallar la derivada de la siguiente función:
\[h(x)=\frac{2}{3}x^3\] Solución. Sean \(f(x)=\frac{2}{3}\) y \(g(x)=x^3\) de
modo que podemos expresar la función \(h(x)\) como el producto de estas dos
funciones:
\[\begin{aligned}h(x)&=\frac{2}{3}x^3\\&=f(x)g(x)\end{aligned}\] De
acuerdo con la propiedad de la derivada de un producto de funciones, se cumple
que:
\[(f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
Sustituyendo las funciones que identificamos, obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\frac{2}{3}x^3&=\left(\frac{d}{dx}\frac{2}{3}\right)x^3+\frac{2}{3}\left(\frac{d}{dx}x^3\right)\end{aligned}\]
Para encontrar la derivada de la función \(f(x)=\frac{2}{3}\), utilizamos la
regla de la derivada de una función constante, que establece que la derivada
de una función constante es igual a cero: \[\frac{d}{dx}k=0\] De tal manera
que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\frac{2}{3}\\&=0\end{aligned}\]
Ahora, para hallar la derivada de la función \(g(x)=x^3\), aplicamos la regla
de la derivada de una potencia, la cual establece que:
\[\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\] De tal manera que obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}x^2\\&=3x^{3-2}\\&=3x^2\end{aligned}\]
Concluimos entonces que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\frac{2}{3}x^3&=\left(\frac{d}{dx}\frac{2}{3}\right)x^3+\frac{2}{3}\left(\frac{d}{dx}x^3\right)\\&=0\cdot
x^2+\frac{2}{3}\cdot 3x^2\\&=\frac{6}{3}x^2\\&=2x^2\end{aligned}\]
Propiedades básicas de la derivada ejercicios para practicar
Ejercicio 1. Aplicando la propiedad de la derivada de un producto de
funciones, hallar la derivada de la función \(f(x)\) definida como:
\[f(x)=(x^2+1)(2x-3)\]
Ejercicio 2. Utilizando la propiedad de la derivada de un cociente de
funciones, calcular la derivada de la siguiente función:
\[g(x)=\frac{2x^2-5x+3}{x-2}\]
Ejercicio 3. Obtener la derivada de la siguiente función aplicando la
propiedad de la derivada de una suma. \[h(x)=3x^8+5x+3\]
Ejercicio 4. Aplicando la propiedad de la derivada de una potencia, hallar la
derivada de la función \(v(s)\) definida como:
\[v(s)=\frac{1}{2}s^{-\frac{1}{2}}\]
Ejercicio 5. Aplicando las propiedades de la derivada obtener la derivada de
las siguientes funciones:
\[\begin{aligned}G(r)&=r^{\frac{1}{2}}+r^{\frac{2}{3}}\\f(x)&=10x^{10}+5x^5-x\end{aligned}\]