¿Qué es un radical?

Un radical es una expresión de la forma \[\sqrt[n]{a}=x\] Donde \(n\) es un número natural y \(a\) es un número real. En esta expresión \(n\) recibe el nombre de índice u orden, \(a\) recibe el nombre de radicando y \(x\) es la raíz enésima de \(a\).

Radical

Un radical también puede escribirse en forma de potencia de la siguiente forma: \[\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\]

¿Qué es la radicación?

En matemáticas, la radicación es el proceso de hallar la raíz enésima (raíz de orden \(n\)) de un número real \(a\).

  • Si \(n\) es par, entonces el radicando \(a\) debe ser positivo.
  • Si el índice de la raíz es impar, entonces el radicando puede ser negativo, y se cumple que: \[\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\]

¿Cómo se lee un radical?

Una raíz de orden dos (n=2) de \(a\), se denomina raíz cuadrada de \(a\). Se lee simplemente como “raíz cuadrada de \(a\)” y se escribe simplemente como: \[\sqrt{a}\]

Una raíz de orden tres (n=3) de \(a\), se denomina raíz cúbica de \(a\). Se lee como “raíz cúbica de \(a\)”, y se escribe como: \[\sqrt[3]{a}\]

Una raíz de orden superior \(n\), se denomina raíz enésima de \(a\). Estas raíces se nombran usando los números ordinales. Por ejemplo, raíz cuarta, raíz quinta, raíz séptima, raíz décima etc.

Operaciones con radicales

Las operaciones con radicales son aquellas operaciones matemáticas que abordan expresiones que incorporan raíces cuadradas, cúbicas u otras raíces. Estas operaciones incluyen las operaciones aritméticas básicas como la suma y resta, así como también la introducción y extracción de factores dentro del radical.

Introducir factores en un radical

Para introducir un factor dentro de un radical, simplemente se debe elevar dicho factor a un exponente igual al índice del radical.

Ejemplos. \[\begin{aligned}3\sqrt{6}&=\sqrt{(3^2)\cdot 6}\\&=\sqrt{9\cdot 6}\\&=\sqrt{54}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}2\sqrt[4]{8}&=\sqrt[4]{2^4\cdot 8}\\&=\sqrt[4]{16\cdot 8}\\&=\sqrt[4]{128}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}-3\sqrt[3]{2}&=\sqrt[3]{(-3)^2\cdot 2}\\&=\sqrt[3]{9\cdot 2}\\&=\sqrt[3]{18}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{9}}{2}&=\sqrt[3]{\frac{9}{2^2}}\\&=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\frac{\sqrt{27}}{-4}&=\sqrt{\frac{27}{(-4)^2}}\\&=\sqrt{\frac{27}{16}}\end{aligned}\]

Extraer un factor fuera del radical

Para extraer un factor fuera del radical, primero se debe descomponer el radicando en un producto de factores.

  • Si el exponente de uno o varios factores es menor que el índice del radical, entonces el o los factores correspondientes se dejan en el radicando, es decir, no se pueden extraer fuera del radical.
Ejemplo. Supongamos que tenemos el siguiente radical: \[\sqrt{10}\] Observa que se trata de la raíz cuadrada del número 10. Si escribimos el radicando como un producto de factores, tendremos: \[\sqrt{10}=\sqrt{2\cdot 5}\]. Observa que cada factor tiene exponente 1, por lo tanto, no se pueden extraer fuera del radical.
  • Si el exponente de uno o varios factores es igual al índice del radical, entonces el o los factores correspondientes salen del radical.
Ejemplo. Supongamos que tenemos el siguiente radical: \[\sqrt{50}\]. Observa que se trata de la raíz cuadrada del número 50. Si escribimos el radicando como un producto de factores, obtenemos lo siguiente: \[\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 25}\]. Observa que en el radicando, el número 25 lo podemos escribir como \(5^2\), de tal manera que: \[\begin{aligned}\sqrt{50}&=\sqrt{2\cdot 25}\\&=\sqrt{2\cdot 5^2}\end{aligned}\]. Ahora, observa que el exponente del número 5 es igual al índice del radical; por lo tanto, podemos extraer este factor fuera del radical, de tal manera que obtenemos: \[\begin{aligned}\sqrt{50}&=\sqrt{2\cdot 25}\\&=\sqrt{2\cdot 5^2}\\&=5\cdot\sqrt{2}\end{aligned}\]
  • Si el exponente de uno o varios factores es mayor que el índice del radical, entonces se divide dicho exponente entre el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radical, y el resto es el exponente del factor dentro del radical.
Ejemplo. Supongamos que tenemos el siguiente radical: \[\sqrt{6250}\]. Observa que se trata de la raíz cuadrada de 6250. Si escribimos el radicando como un producto de factores, obtenemos lo siguiente: \[\sqrt{6250}=\sqrt{2\cdot 3125}\]. Observa que en el radicando, el número 3125 lo podemos escribir como \(5^5\), de tal manera que obtenemos lo siguiente: \[\begin{aligned}\sqrt{6250}&=\sqrt{2\cdot 3125}\\&=\sqrt{2\cdot 5^5}\end{aligned}\]. Observa que el exponente de uno de los factores es mayor que el índice del radical, es decir, \(5>2\). Para extraer este factor, dividimos 5 entre 2. El cociente es 2 y el resto es 1, de tal manera que: \[\begin{aligned}\sqrt{6250}&=\sqrt{2\cdot 3125}\\&=\sqrt{2\cdot 5^5}\\&=5^2\cdot\sqrt{2\cdot 5}\end{aligned}\]

Suma y resta de radicales

Para sumar o restar radicales, es necesario que los índices (el número pequeño que indica el grado de la raíz) y las radicales sean iguales, ya que únicamente se pueden sumar o restar los términos semejantes (con el mismo índice y radical).

Ejemplos. \[\begin{aligned}\sqrt{2}+\sqrt{2}&=(1+1)\sqrt{2}\\&=2\sqrt{2}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}5\sqrt[5]{-32}+2\sqrt[5]{-32}&=(5+2)\sqrt[5]{-32}\\&=7\sqrt[5]{-32}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}4\sqrt[3]{25}+\frac{\sqrt[3]{25}}{2}&=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sqrt[3]{25}\\&=\frac{9}{2}\sqrt[3]{25}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}6\sqrt{7}-2\sqrt{7}&=(6-2)\sqrt{7}\\&=4\sqrt{7}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}2\sqrt[3]{9}-5\sqrt[3]{9}&=(2-5)\sqrt[3]{9}\\&=-3\sqrt[3]{9}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[3]{-2}-\frac{\sqrt[3]{-2}}{2}&=\left(1-\frac{1}{2}\right)\sqrt[3]{-2}\\&=\frac{1}{2}\sqrt[3]{-2}\\&=\frac{\sqrt[3]{-2}}{2}\end{aligned}\]

Sin embargo, no podemos realizar sumas o restas cuando los radicales tienen diferente índice o diferente radical. Este hecho se muestra en los siguientes ejemplos, mientras que para el primero se tienen el mismo índice, el radical es diferente. Para el segundo ejemplo se tiene el mismo radical, pero diferente índice. \[\sqrt{2}+\sqrt{3}\] \[\sqrt[3]{9}-\sqrt[2]{9}\]

Estas son las operaciones básicas con radicales. En algunos casos, también se pueden simplificar las expresiones radicales mediante la reducción de raíces cuadradas perfectas. Es importante tener en cuenta las reglas y propiedades específicas al manipular expresiones con radicales.

Propiedades de los radicales

Las propiedades de los radicales son reglas y relaciones que describen cómo se pueden manipular y operar con expresiones que contienen raíces. Aquí están algunas de las propiedades más fundamentales de los radicales:

Raíz de un producto

\[\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\]

La propiedad de la raíz de un producto establece que la raíz enésima de un producto es igual al producto de la raíz enésima de cada uno de los factores. En otras palabras, puedes separar la raíz enésima de un producto en el producto de las raíces enésimas individuales.

Ejemplos. \[\begin{aligned}\sqrt{12}&=\sqrt{4\cdot 3}\\&=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}\\&=2\cdot\sqrt{3}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[3]{24}&=\sqrt[3]{8\cdot 3}\\&=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{3}\\&=2\cdot\sqrt[3]{3}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[5]{-64}&=\sqrt[5]{(-32)\cdot 2}\\&=\sqrt[5]{-32}\cdot\sqrt[5]{2}\\&=-2\cdot\sqrt[5]{2}\end{aligned}\]

Raíz de un cociente

\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

La propiedad de la raíz de un cociente establece que la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de la raíz enésima del dividendo entre la raíz enésima del divisor.

Ejemplos. \[\begin{aligned}\sqrt{\frac{9}{4}}&=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[3]{\frac{8}{125}}&=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}\\&=\frac{2}{5}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}&=-\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}\]

En otras palabras: “Puedes separar la raíz enésima de un cociente en el cociente de las raíces enésimas individuales”.

Raíz de un radical

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\]

La propiedad de la raíz de una raíz establece que la raíz de grado \(m\) de una raíz de grado \(n\), es igual a la raíz de grado \(m\cdot n\) del mismo radicando.

Ejemplos. \[\begin{aligned}\sqrt[3]{\sqrt{64}}&=\sqrt[3\cdot 2]{64}\\&=\sqrt[6]{64}\\&=2\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[3]{\sqrt[5]{-16}}&=-\sqrt[15]{16}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[3]{\sqrt{\frac{2}{3}}}&=\sqrt[3\cdot 2]{\frac{2}{3}}\\&=\frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[6]{3}}\end{aligned}\]

En otras palabras: “Para calcular la raíz de una raíz simplemente multiplica los índices de las raíces y se conserva el mismo radicando.”

Raíz de una potencia

\[\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\]

La propiedad de la raíz de una potencia establece que la raíz enésima de la potencia \(a^m\), es igual a la base de la potencia elevada al exponente \(m/n\). En otras palabras, esta propiedad indica que un radical se puede expresar como una potencia y viceversa.

Ejemplos. \[\begin{aligned}\sqrt[3]{6}&=\sqrt[3]{6^1}\\&=6^{1/3}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt{5}&=\sqrt{5^1}\\&=5^{1/2}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\sqrt[3]{4^9}&=4^{9/3}\\&=4^3\\&=64\end{aligned}\]

La raíz enésima de una potencia \(a^n\), es igual a la misma base de la potencia. En otras palabras, si el grado de la raíz coincide con el grado del exponente de la potencia, el resultado es simplemente la base de la potencia. Matemáticamente esto quiere decir que: \[\sqrt[n]{a^n}=a^{n/n}=a\]

Ejemplos. \[\sqrt[5]{7^5}=7\] \[\sqrt{3^2}=3\] \[\sqrt[3]{(-8)^3}=-8\] \[\sqrt[5]{\left(\frac{6}{7}\right)^5}=\frac{6}{7}\]

Potencia de un radical

\[\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\]

La propiedad de la potencia de una raíz establece que la raíz enésima elevada al exponente \(m\) es igual a la raíz enésima del radicando elevada al exponente \(m).

Por ejemplo: \[\begin{aligned}\left(\sqrt[3]{2}\right)^6&=\sqrt[3]{2^6}\\&=2^{6/3}\\&=2^2\\&=4\end{aligned}\]

Las propiedades de los radicales son fundamentales para simplificar expresiones que involucran radicales y para realizar operaciones aritméticas con ellos.

Propiedades de las radicales preguntas frecuentes

¿Qué es un radical en matemáticas? Un radical es una expresión matemática que incluye la raíz cuadrada, cúbica u otra raíz de un número.

¿Cuáles son las propiedades básicas de los radicales? Algunas propiedades básicas de los radicales incluyen la propiedad de la raíz cuadrada, la propiedad de la raíz cúbica, y la propiedad de multiplicación y división de radicales.

¿Cómo simplificar radicales? Para simplificar radicales, busca factores cuadrados perfectos y utiliza las propiedades de la raíz cuadrada para simplificar la expresión.

¿Cuáles son las reglas para sumar y restar radicales? Al sumar o restar radicales, asegúrate de que tengan el mismo índice (raíz) y luego combina términos semejantes.

¿Cómo multiplicar y dividir radicales? Para multiplicar radicales, multiplica los coeficientes y los radicandos por separado. Para dividir radicales, divide los coeficientes y los radicandos por separado.

¿Qué es la propiedad distributiva con radicales? La propiedad distributiva con radicales establece que puedes distribuir un radical sobre una suma o resta de términos.

¿Cómo resolver ecuaciones con radicales? Para resolver ecuaciones con radicales, aísla el radical, eleva ambos lados al cuadrado (o al índice correspondiente) y simplifica para encontrar la solución.

¿Cuáles son las operaciones con radicales? Las operaciones con radicales son aquellas operaciones matemáticas que involucran expresiones que contienen raíces cuadradas, cúbicas u otras raíces. Las operaciones más comunes incluyen la suma, resta, multiplicación y división de radicales.

¿Cuáles son las partes de un radical? Las partes que componen un radical son: coeficiente, índice y radicando

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