¿Qué es una función matemática?
Una función matemática es un concepto fundamental en matemáticas que describe una relación entre dos conjuntos de números, donde cada número en el primer conjunto (llamado dominio) se relaciona de manera única con un número en el segundo conjunto (llamado codominio). En otras palabras, una función asigna un valor específico de salida a cada valor de entrada.
Para que comprendas con mayor claridad el concepto de función, puedes pensar en una función como una máquina que toma el valor de un número como entrada y produce otro número como salida, siguiendo una regla específica. Imagina que esta máquina duplica el valor de cualquier número que le insertes. Esta máquina es una función matemática. Si introduces el número \(3\), la máquina te devolverá el número \(6\), y si introduces el número \(-2\), obtendrás el número \(-4\).
En este caso el dominio es el conjunto de todos los números reales que puedes ingresar en la máquina y el codominio es el conjunto de todos los números reales posibles que la máquina puede producir como salida. La regla de esta función es simple: duplicar el número de entrada. Así, para cualquier número que introduzcas en la máquina, obtendrás un valor de salida correspondiente que es exactamente el doble del valor introducido. Más adelante veremos como escribir de manera correcta esta función.
Definición de función
Una función es una regla que asocia a cada elemento de un conjunto \(A\) de números reales un único elemento de un conjunto \(B\) de números reales. El conjunto \(A\) recibe el nombre de dominio de la función y el conjunto \(B\) recibe el nombre de codominio de la función.
Dominio y codominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de \(x\) (variable independiente) para los cuales existe un valor asociado de la función \(f(x)\).
El codominio de una función es el conjunto de todos los valores de \(y\) (variable dependiente) que se podrían obtener al evaluar \(x\) en la función \(f(x)\). Para indicar que \(f\) es una función con dominio en \(A\) y codominio en \(B\), se escribe como: \[f:A \rightarrow B\]
Si el dominio de una función \(f\) es el conjunto de los números reales, entonces este conjunto se representa como \(\mathbb{R}\), y si el codominio de una función también es el conjunto de los números reales, se representa de la misma manera con\(\mathbb{R}\), de tal manera que podemos representar a la función como: \[f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\]
Variable dependiente y variable independiente
La variable independiente, también conocida como variable de entrada o argumento de la función, es aquella que toma diferentes valores del dominio de la función. Es la variable que elige el usuario y que se utiliza para calcular o determinar el valor de la función. Por lo general, se representa en el eje horizontal (eje \(x\)) del plano cartesiano. Por otro lado, la variable dependiente, también conocida como variable de salida o imagen, es aquella que está determinada por la variable independiente a través de la función. Es el resultado, el valor o la respuesta que se obtiene después de aplicar la función a la variable independiente. Por lo general, se representa en el eje vertical (eje \(y\)) del plano cartesiano.
La relación entre la variable independiente y la variable dependiente se puede visualizar como un conjunto de pares ordenados \((x, y)\), donde \(x\) representa los valores de la variable independiente y \(y\) representa los valores correspondientes de la variable dependiente.
Regla de correspondencia
La regla de correspondencia de una función indica cómo se relacionan los elementos del conjunto del dominio con los elementos del codominio de la función. En otras palabras, la regla de correspondencia describe la relación entre la variable independiente y la variable dependiente, y se expresa como: \[f(x)=y\] Siguiendo el ejemplo de una máquina que duplica el valor de cualquier número que se le ingresa, la regla de correspondencia se define como: \[f(x)=2x\]
Notación de función
Para denotar una función, se utilizan comúnmente las letras \(f\), \(g\) y \(h\), de tal manera que podemos escribir una función de variable independiente \(x\) como: \(f(x)\), \(g(x)\) o \(h(x)\). Siguiendo el ejemplo de la máquina que duplica el valor de cualquier número que se le ingresa, la notación completa de esta función sería: \[f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\] tal que \[f(x)=2x\]
Rango o recorrido de la función
El rango o recorrido de una función es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente \(y\) que se pueden obtener al evaluar cada uno de los valores del dominio de la función. En otras palabras, el rango es el conjunto de todos los valores que la función puede dar como resultado. El rango se puede expresar de diferentes formas, dependiendo del contexto y del tipo de función. Puede ser un conjunto de números reales, un intervalo específico o una combinación de ambos. En algunos casos, el rango puede ser limitado, es decir, puede tener un límite superior e inferior. En otros casos, el rango puede ser infinito, abarcando todos los números reales. Es importante destacar que el rango está determinado por la relación entre la variable independiente y la variable dependiente en la función, así como por las restricciones y propiedades específicas de la función en sí.
Diferencia entre codominio y rango
El rango y el codominio son conceptos relacionados en el contexto de las funciones, pero tienen significados ligeramente diferentes.El rango de una función es el conjunto de todos los posibles valores de la variable dependiente (y) que la función puede tomar al variar los valores de la variable independiente (x). En otras palabras, el rango es el conjunto de valores reales o numéricos que la función realmente produce como resultado. Por otro lado, el codominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores que pueden tomar los elementos de la variable dependiente (y), en otras palabras el codominio es una descripción de todos los posibles valores de la variable dependiente sin tener en cuenta si realmente ocurren en la función.
El rango es una descripción de los valores que la función realmente toma, mientras que el codominio es una descripción de los valores que la variable dependiente podría tomar. En algunos casos, el rango y el codominio pueden ser idénticos, pero en otros casos pueden ser diferentes. En general el rango o recorrido de una función es un subconjunto del codominio de la función.
