Derivadas ejercicios resueltos

Derivada de una función constante ejercicios resueltos

Derivada de una función constante:

\[\frac{d}{dx}c=0\]

La derivada de una función constante, expresada como $f(x)=c$, donde $c$ es un número constante, siempre es igual a cero. Esto se debe a que una función constante representa una línea horizontal en un gráfico, y en cualquier punto de esa línea, la tasa de cambio instantánea, es decir, la derivada, es nula. Matemáticamente, si $f(x)=c$, entonces la derivada $f'(x)=0$, lo que significa que la función no experimenta cambios en su valor con respecto a $x$.

Derivada de una potencia ejercicios resueltos

Derivada de una potencia (versión general): Si $n$ es cualquier número real, entonces

\[\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\]

$Derivada de una potencia (fracción)$

Si tenemos una función de la forma $f(x)=x^n$, donde $n$ es un exponente constante, la derivada $f'(x)$ se calcula aplicando la propiedad de la derivada de una potencia. Esta propiedad establece que la derivada de $x^n$ es $nx^{(n-1)}$. En otras palabras, para encontrar la derivada de una función de potencia, multiplicamos el exponente original por el coeficiente y luego reducimos el exponente en uno.

Derivada de una constante multiplicada por una función ejercicios resueltos

Derivada del múltiplo constante: Si $c$ es una constante de valor real y $f$ es una función derivable, entonces

\[\frac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\frac{d}{dx}f(x)\]

Derivada de una constante multiplicada por una función

Cuando derivamos una función que es el producto de una constante $c$ por otra función $f(x)$, la regla es simple: la derivada de $cf(x)$ es igual a $c$ multiplicado por la derivada de $f(x)$. Matemáticamente, si $h(x)=cf(x)$, entonces la derivada $h'(x)$ es igual a $cf'(x)$, donde $f'(x)$ es la derivada de $f(x)$ con respecto a $x$. En resumen, al derivar un múltiplo constante por una función, la constante se mantiene como factor y la derivada de la función se calcula como de costumbre.

Derivada de una suma de funciones ejercicios resueltos

Derivada de una suma de funciones: Si $f$ y $g$ son derivables, entonces

\[\frac{d}{dx}\left[f(x)+g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)\]

La regla de la derivada de una suma de funciones establece que la derivada de la suma de dos funciones $h(x)=f(x)+g(x)$ es igual a la suma de las derivadas individuales de $f(x)$ y $g(x)$. En otras palabras, para encontrar la derivada de una suma de funciones, simplemente derivamos cada función por separado y luego sumamos esas derivadas.

Derivada de una diferencia de funciones ejercicios resueltos

Derivada de una diferencia de funciones: Si tanto $f$ como $g$ son derivables, entonces:

\[\frac{d}{dx}\left[f(x)-g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)\]

La regla de la derivada de una diferencia de funciones establece que si tenemos una función $h(x)$ dada por la diferencia de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, es decir, $h(x)=f(x)-g(x)$, entonces la derivada de $h(x)$, denotada como $h'(x)$, es igual a la diferencia de las derivadas individuales de $f(x)$ y $g(x)$. En términos más simples, al derivar una diferencia de funciones, simplemente derivamos cada función por separado y luego restamos las derivadas.

Derivada de un producto de funciones

Derivada de un producto de funciones: Si $f$ y $g$ son derivables, entonces

\[\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right]=f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)\]

Si tenemos una función $h(x)$ dada por el producto de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, es decir, $h(x)=f(x)g(x)$, entonces la derivada de $h(x)$, denotada como $h'(x)$, se calcula utilizando la propiedad de la derivada de un producto. En palabras simples, para encontrar la derivada de un producto de funciones, multiplicamos la primera función por la derivada de la segunda función, y luego sumamos eso al producto de la segunda función por la derivada de la primera función.

Derivada de un cociente de funciones ejercicios resueltos

Derivada de un cociente de funciones: Si $f$ y $g$ son derivables, entonces

\[\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}f(x)-f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{\left[g(x)\right]^2}\]

Si tienes una función $h(x)$ definida como el cociente de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, es decir, $h(x)=f(x)\div g(x)$, entonces la derivada de $h(x)$, denotada como $h'(x)$, se calcula utilizando la propiedad de la derivada de un cociente. En palabras simples, para encontrar la derivada de un cociente de funciones, restamos el producto de la derivada de la primera función por la segunda función, al producto de la primera función por la derivada de la segunda función, y todo esto lo dividimos entre el cuadrado de la función del denominador.

Derivada de una función exponencial ejercicios resueltos

Derivada de la función exponencial natural

Derivada de la función exponencial natural:

\[\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\]

Derivada de una función exponencial natural

La derivada de la función exponencial natural, denotada comúnmente como $e^x$ o $\exp(x)$, es una propiedad clave en cálculo. La función exponencial natural es especial porque su derivada es simplemente ella misma. Matemáticamente, la derivada de $e^x$ con respecto a $x$ es $e^x$.

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial:

\[\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln{a}\]

La derivada de una función exponencial general $a^x$, donde $a$ es una constante positiva y $x$ es la variable, se puede expresar utilizando una regla específica. La derivada de $a^x$ con respecto a $x$ es igual a la función original multiplicada por el logaritmo natural de la base $a$. Este resultado es una propiedad importante cuando trabajamos con funciones exponenciales que tienen bases distintas de $e$. Es importante destacar que cuando la base es $e$, es decir, para la función $e^x$, la derivada es simplemente $e^x$, como se explicó anteriormente.

Derivada de las funciones trigonométricas ejercicios resueltos

Derivada de la función seno: Si $fx)=\sin{x}$, entonces

\[\frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\]

Derivada de la función coseno: Si $fx)=\cos{x}$, entonces

\[\frac{d}{dx}\cos{x}=-\sin{x}\]

Derivada de la función tangente: Si $fx)=\tan{x}$, entonces

\[\frac{d}{dx}\tan{x}=\sec^{2}{x}\]

Derivada de una composición ejercicios resueltos

Derivada de una composición de dos funciones

Regla de la cadena para hallar la derivada de una composición de dos funciones: Si $f$ es derivable en $x$ y $g$ es derivable en $f(x)$, entonces la función compuesta $h(x)$ definida mediante \[\begin{aligned}h(x)&=(g\circ f)(x)\\&=g(f(x))\end{aligned}\] es derivable en $x$ y $h’(x)$ está dada por:

\[h’(x)=f’(x)g’(f(x))\]

Derivada de una composición de funciones

Derivada de la composición de dos funciones

La regla de la cadena es utilizada para derivar funciones compuestas. Si tienes una función $h=g(f(x))$, la derivada se obtiene multiplicando la derivada de la función externa $g$ evaluada en la función interna $f(x)$ por la derivada de la función interna $f(x)$ con respecto a $x$.

Derivada de una composición de tres funciones

Regla de la cadena para hallar la derivada de una composición de tres funciones: Si $f$ es derivable en $x$, g es derivable en $f(x)$ y $h$ es derivable en $g(f(x))$, entonces la función compuesta $P(x)$ definida mediante \[\begin{aligned}P(x)&=(h\circ (g\circ f))(x)\\&=h(g(f(x)))\end{aligned}\] es derivable en $x$ y $P(x)$ está dada por:

\[P’(x)=f’(x)g’(f(x))h’(g(f(x)))\]

Derivada de una función compuesta de tres funciones

La regla de la cadena se extiende naturalmente a composiciones de tres funciones. Supongamos que tienes una función $P=h(g(f(x)))$, donde $f(x)$ es la función más interna, $g(f(x))$ es la función del medio, y $h(g(f(x)))$ es la función más externa. La derivada de esta composición se calcula aplicando la regla de la cadena en cada nivel, es decir, para derivar una composición de tres funciones, tomamos la derivada de cada función evaluada en la siguiente función interna y multiplicamos todas estas derivadas. Este proceso se repite en cada nivel de la composición.