Derivada de una función compuesta

En el campo del cálculo diferencial, la regla de la cadena se destaca como una herramienta esencial para encontrar la derivada de una función compuesta. Cuando nos encontramos con una función compleja compuesta de varias funciones más simples, la regla de la cadena nos brinda la capacidad de hallar su derivada de manera efectiva.

Derivada de una composición de dos funciones

Si \(h\) es la función definida como la función compuesta de \(f\) con \(g\) definida como: \[h(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))\] Entonces, la regla de la cadena establece que la derivada de la función \(h\) está definida por: \[h'(x)=f'(x)\cdot g'(f(x))\] Para utilizar esta regla de manera correcta, es importante primero identificar si la función que se quiere derivar es una función compuesta, identificar las funciones que conforman la composición y el orden en el que se ha llevado a cabo dicha composición.

Regla de la cadena para hallar la derivada de una función compuesta

¿Cómo utilizar la regla de la cadena?

Pasos para hallar la derivada de la función \(h\) definida como la composición: \[\begin{aligned}h(x)&=(g\circ f)(x)\\&=g(f(x))\end{aligned}\]

  • Paso 1. Identificar a la función \(f(x)\) y a la función \(g(x)\)
  • Paso 2. Calcular la derivada de cada función, es decir, hallar \(f'(x)\) y \(g'(x)\)
  • Paso 3. Evaluar \(f(x)\) en \(g'(x)\) para obtener \(g'(f(x))\)
  • Paso 4. Multiplicar \(f'(x)\) por \(g'(f(x))\)

Nota. Aplicar la regla de la cadena puede parecer complicado, pero en realidad no lo es. En este texto, abordamos cada ejemplo paso a paso para ayudarte a comprender el proceso. Con la práctica, aprenderás a identificar rápidamente las funciones que conforman la composición y verás que aplicar la regla de la cadena es más sencillo de lo que parece.

Regla de la cadena - Ejercicios

Ejemplo 1. Consideremos la función \(f\) definida por \(f(x)=x^2-1\) y la función \(g\) definida por \(g(x)=\sin{x}\). Hallar la derivada de la función compuesta de \(f\) con \(g\).

Solución. Primero, debemos determinar la función \(h\), es decir, la composición de \(f\) con \(g\): \[\begin{aligned}h(x)&=(g\circ f)(x)\\&=g(f(x))\\&=g(x^2-1)\\&=\sin{(x^2-1)}\end{aligned}\] Paso 1. En este caso, no es necesario identificar las funciones por separado, ya que el enunciado no las presenta de esa manera.Paso 2. Calculamos las derivadas de \(f(x)\) y \(g(x)\):

\[\begin{aligned}f'(x)&=\frac{d}{dx}f(x)\\&=\frac{d}{dx}(x^2-1)\\&=\frac{d}{dx}x^2-\frac{d}{dx}1\\&=2x-0\\&=2x\\g'(x)&=\frac{d}{dx}g(x)\\&=\frac{d}{dx}\sin{x}\\&=\cos{x}\end{aligned}\]

Paso 3. Evaluamos \(f(x)\) en \(g'(x)\):

\[\begin{aligned}g'(f(x))&=g'(x^2-1)\\&=\cos{(x^2-1)}\end{aligned}\]

Paso 4. Multiplicamos \(f'(x)\) por \(g'(f(x))\):

\[\begin{aligned}f'(x)g'(f(x))&=2x\cdot\cos{(x^2-1)}\end{aligned}\]

Concluimos que: \[\begin{aligned}h'(x)&=2x\cos{(x^2-1)}\end{aligned}\]

Ejemplo 2. Calcular la derivada de la función. \[\sin^3{(9x+1)}\] Solución. Paso 1. Observa que la función que deseamos derivar es el resultado de la composición de dos funciones, a saber, de la función \(f(x)=9x+1\) compuesta con \(g(x)=\sin^3{x}\), pues observa que: \[\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=g(9x+1)\\&=\sin^3{(9x+1)}\end{aligned}\]Paso 2. Calculamos las derivadas de \(f(x)\) y \(g(x)\):

\[\begin{aligned}f'(x)&=\frac{d}{dx}f(x)\\&=\frac{d}{dx}(9x+1)\\&=\frac{d}{dx}9x+\frac{d}{dx}1\\&=9\frac{d}{dx}x+0\\&=9\\ g'(x)&=\frac{d}{dx}g(x)\\&=\frac{d}{dx}\sin^3{x}\\&=3\cdot\sin^2{(x)}\cdot\cos{(x)}\end{aligned}\]

Paso 3. Evaluamos \(f(x)\) en \(g'(x)\):

\[\begin{aligned}g'(f(x))&=g'(9x+1)\\&=3\cdot\sin^2{(9x+1)}\cdot\cos{(9x+1)}\end{aligned}\]

Paso 4. Multiplicamos \(f'(x)\) por \(g'(f(x))\):

\[\begin{aligned}f'(x)g'(f(x))&=9\cdot\left(3\cdot\sin^2{(9x+1)}\cdot\cos{(9x+1)}\right)\\&=27\cdot\sin^2{(9x+1)}\cdot\cos{(9x+1)}\end{aligned}\]

Concluimos que:

\[h'(x)=27\cdot\sin^2{(9x+1)}\cdot\cos{(9x+1)}\]

Derivada de una composición de tres funciones

Sea \(k\) la función definida como la composición de la función \(f\) con \(g\) con \(h\), definida por: \[\begin{aligned}k(x)&=\left(h\circ\left(g\circ f\right)\right)\left(x\right)\\&=h\left(\left(g\circ f\right)\left(x\right)\right)\\&=h\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)\end{aligned}\] Aplicando una vez la regla de la cadena a la función \(k\), obtenemos: \[\begin{aligned}k'(x)&=\frac{d}{dx}[h(g(f(x)))]\\&=[g(f(x))]'\cdot h'(g(f(x)))\end{aligned}\] Observa que en el segundo miembro de la igualdad aparece la expresión \([g(f(x))]'\), esta es igual a: \[\frac{d}{dx}\left[g(f(x))\right]\] Y como podrás recordar, esta es la derivada de la composición de dos funciones, es decir: \[\frac{d}{dx}\left[g(f(x))\right]=f'(x)\cdot g'(f(x))\] Por lo tanto, tendremos que la derivada la función \(k(x)\) está definida por:

\[\begin{aligned}k'(x)&= f'(x)\cdot g'(f(x))\cdot h'(g(f(x)))\end{aligned}\]

Ejemplo 3. Sea la función \(f\) definida como \(f(x)=x+2\), la función \(g\) definida como \(g(x)=\sqrt{x}\) y la función \(h\) definida como \(\frac{1}{x}\). Hallar la derivada de la función compuesta \(f\) con \(g\) con \(h\).

Solución. Primero observa que se nos pide hallar la derivada de la función compuesta \(f\) con \(g\) con \(h\), es decir, se nos pide la derivada de la función \(k\) definida por:

\[\begin{aligned}k(x)&=(h\circ (g\circ f))(x)\\&=h(g(f(x)))\\&=h(g(x+2))\\&=h(\sqrt{x+2})\\&=\frac{1}{\sqrt{x+2}}\end{aligned}\]

Paso 1. Identificar las funciones. En este caso, las funciones ya están identificadas ya que el ejercicio no las presenta por separado.

Paso 2. Hallar \(f'(x)\), \(g'(x)\) y \(h'(x)\):

\[\begin{aligned}f'(x)&=\frac{d}{dx}f(x)\\&=\frac{d}{dx}(x+2)\\&=\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}2\\&=1+0\\&=1\\g'(x)&=\frac{d}{dx}g(x)\\&=\frac{d}{dx}\sqrt{x}\\&=\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\&=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\h'(x)&=\frac{d}{dx}h(x)\\&=\frac{d}{dx}\frac{1}{x}\\&=\frac{d}{dx}x^{-1}\\&=-x^{-2}\\&=-\frac{1}{x^2}\end{aligned}\]

Paso 3. Evaluar \(f(x)\) en \(g(x)\) en \(h'(x)\):

\[\begin{aligned}h'(g(f(x)))&=h'(g(x+2))\\&=h'(\sqrt{x+2})\\&=-\frac{1}{(\sqrt{x+2})^2}\\&=-\frac{1}{x+2}\end{aligned}\]
Paso 4. Evaluar \(f(x)\) en \(g'(x)\):
\[\begin{aligned}g'(f(x))&=g'(x+2)\\&=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}\end{aligned}\]
Paso 5. Multiplicar \(f'(x)\) por \(g'(f(x))\) por \(h'(g(f(x)))\):
\[\begin{aligned}k(x)&=f'(x)\cdot g'(f(x))\cdot h'(g(f(x)))\\&=1\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+2}}\cdot\left(-\frac{1}{x+2}\right)\\&=-\frac{1}{2(x-2)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}\]
Concluimos que: \[\begin{aligned}k'(x)&=-\frac{1}{2(x-2)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}\]