¿Qué es la multiplicación de fracciones?
La multiplicación de fracciones es una de las operaciones básicas con fracciones que permite obtener una tercera fracción, conocida como "producto" o "resultado de la multiplicación". El procedimiento para multiplicar dos o más fracciones consiste en multiplicar los numeradores entre sí para obtener el nuevo numerador de la fracción resultante, y los denominadores entre sí para obtener el nuevo denominador de la fracción resultante.
Símbolo de la multiplicación de fracciones
El símbolo utilizado para representar la multiplicación de fracciones es: "\(\times\)". También se puede representar esta operación con un punto medio: "\(\cdot\)" o, a menudo, simplemente separando las fracciones con un espacio o encerrando las fracciones entre paréntesis.
Multiplicación de dos fracciones
Para multiplicar dos fracciones, simplemente se multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Posteriormente, si es posible, se simplifica la fracción resultante y se determinan los enteros si el resultado es una fracción impropia. La siguiente imagen muestra el procedimiento para multiplicar dos fracciones.
Multiplicación de dos fracciones ejemplos
Ejemplo 1. Realiza la siguiente multiplicación de dos fracciones: \[\frac{2}{3}\times\frac{9}{5}\]
Solución: Para multiplicar estas dos fracciones, simplemente debemos multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador: \[\begin{aligned}\frac{2}{3}\times \frac{9}{5}&=\frac{2\times9}{3\times5}\\&=\frac{18}{15}\\&=\frac{6}{5}\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Determina el resultado de la siguiente multiplicación de dos fracciones: \[\frac{20}{3}\times\frac{4}{3}\]
Solución: Para multiplicar estas dos fracciones, multiplica los numeradores para obtener el numerador del producto y multiplica los denominadores para obtener el denominador del producto: \[\begin{aligned}\frac{20}{3}\times\frac{4}{3}&=\frac{20\times4}{3\times3}\\&=\frac{80}{9}\end{aligned}\]
Multiplicación de tres o más fracciones
La multiplicación de tres o más fracciones se realiza de la misma manera que la multiplicación de dos fracciones. A continuación, te presentamos los pasos para multiplicar tres o más fracciones:
- Paso 1. Escribe todas las fracciones que deseas multiplicar una al lado de la otra, separadas por algún signo de multiplicación.
- Paso 2. Multiplica todos los numeradores para obtener un nuevo numerador y luego multiplica todos los denominadores para obtener un nuevo denominador.
- Paso 3. Simplifica la fracción resultante si es posible.
Multiplicación de tres o más fracciones ejemplos
Ejemplo 1. Determina el resultado de la siguiente multiplicación de tres fracciones: \[\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\]
Solución: Para hallar el producto de las fracciones, simplemente se deben multiplicar los numeradores y dividir el resultado entre el producto de los denominadores, es decir: \[\begin{aligned}\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}&=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 4}\\&=\frac{6}{24}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}\]
Multiplicación de fracciones con enteros
Para multiplicar un número entero por una fracción, es importante recordar que cualquier número entero se puede representar como una fracción al dividirlo entre 1. Es decir, cualquier número entero \(z\) puede expresarse como la fracción \[\frac{z}{1}\] Después de haber convertido el número entero en una fracción, procede a realizar la multiplicación de fracciones siguiendo el método descrito al inicio del artículo.
Ejemplo 1. Realiza la siguiente multiplicación de un entero por una fracción: \[5\times\frac{3}{4}\]
Solución: Lo primero que se debe hacer es convertir el entero a fracción, de tal manera que: \[5=\frac{5}{1}\] Ahora procedemos a realizar la multiplicación de fracciones: \[\begin{aligned}5\times\frac{3}{4}&=\frac{5}{1}\times\frac{3}{4}\\&=\frac{5\times3}{1\times4}\\&=\frac{15}{4}\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Determina el resultado de la siguiente multiplicación de un entero por una fracción: \[1\times\frac{9}{7}\]
Solución: Primero convertimos el número entero a fracción: \[1=\frac{1}{1}\] Ahora simplemente realizamos la multiplicación de fracciones: \[\begin{aligned}1\times\frac{9}{7}&=\frac{1}{1}\times\frac{9}{7}\\&=\frac{1\times9}{1\times7}\\&=\frac{9}{7}\end{aligned}\]
Multiplicación de fracciones mixtas
El método para multiplicar fracciones mixtas consiste en convertir cada fracción mixta a una fracción impropia, luego multiplicar los numeradores para obtener el nuevo numerador y los denominadores para obtener el nuevo denominador.
¿Qué es una fracción mixta?
Una fracción mixta es aquella que está formada por un componente entero y una componente fraccional, donde la componente fraccional es una fracción propia. Por ejemplo: \[\begin{aligned}5\frac{1}{3}, 11\frac{3}{4}, 1\frac{1}{2}\end{aligned}\]
¿Cómo convertir una fracción mixta a una fracción impropia?
Para convertir una fracción mixta a una fracción impropia, se multiplica el denominador de la componente fraccionaria por el número entero y luego a este producto se le suma el numerador de la componente fraccionaria. El resultado de esta operación se convierte en el nuevo numerador de la fracción impropia, manteniendo el mismo denominador de la componente fraccionaria.
Multiplicación de fracciones mixtas ejemplos
Ejemplo 1. Realizar la siguiente multiplicación de fracciones mixtas.\[8\frac{1}{2}\times 1\frac{3}{4}\]
Solución: Primero convertimos cada una de las fracciones mixtas a fracciones impropias. \[\begin{aligned}8\frac{1}{2}&=\frac{(2\times 8)+1}{2}\\&=\frac{16+1}{2}\\&=\frac{17}{2}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}1\frac{3}{4}&=\frac{(4\times 1)+3}{4}\\&=\frac{4+3}{4}\\&=\frac{7}{4}\end{aligned}\]
Ahora procedemos a realizar la multiplicación de estas fracciones impropias. \[\begin{aligned}8\frac{1}{2}\times 1\frac{3}{4}&=\frac{17}{2}\times \frac{7}{4}\\&=\frac{17 \times 7}{4\times2}\\&=\frac{119}{8}\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Realizar la siguiente multiplicación de fracciones. \[4\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\]
Solución: Observa que la multiplicación involucra solo una fracción mixta, por lo que primero esta se debe convertir a fracción impropia, mientras que la otra fracción se queda igual. Luego se procede a realizar la multiplicación de estas fracciones. \[\begin{aligned}4\frac{1}{2}&=\frac{(2\times 4)+1}{2}\\&=\frac{8+1}{2}\\&=\frac{9}{2}\end{aligned}\]
Ahora procedemos a realizar la multiplicación de fracciones impropias para hallar el resultado. \[\begin{aligned}4\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}&=\frac{9}{2}\times \frac{3}{4}\\&=\frac{9 \times 3}{2\times 4}\\&=\frac{27}{8}\end{aligned}\]
Ejemplo 3. Realizar la siguiente multiplicación de fracciones mixtas. \[2\frac{5}{3}\times 3\frac{1}{2}\times 1\frac{1}{3}\]
Solución: Primero convertimos las fracciones mixtas a fracciones impropias. \[\begin{aligned}2\frac{5}{3}&=\frac{(3\times 2)+5}{3}\\&=\frac{6+5}{3}\\&=\frac{11}{3}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}3\frac{1}{2}&=\frac{(2\times 3)+1}{2}\\&=\frac{6+1}{2}\\&=\frac{7}{2}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}1\frac{1}{3}&=\frac{(3\times 1)+1}{3}\\&=\frac{3+1}{3}\\&=\frac{4}{3}\end{aligned}\]
Ahora procedemos a realizar la multiplicación de estas fracciones. \[\begin{aligned}2\frac{5}{3}\times 3\frac{1}{2}\times 1\frac{1}{3}&=\frac{11}{3}\times \frac{7}{2}\times \frac{4}{3}\\&=\frac{11\times7\times4}{3\times2\times3}\\&=\frac{308}{18}\end{aligned}\]
Multiplicación de una fracción mixta por un entero
Para multiplicar una fracción mixta por un número entero, primero se debe convertir la fracción mixta a una fracción impropia. Luego, se convierte el número entero a una fracción y, finalmente, se procede a realizar la multiplicación de las fracciones resultantes, tal como se indicó al inicio del artículo.
Multiplicación de una fracción mixta por un entero ejemplos
Ejemplo 1. Realizar la siguiente multiplicación de una fracción mixta por un entero. \[3\frac{1}{4}\times 2\]
Solución: Primero convertimos la fracción mixta a fracción impropia: \[\begin{aligned}3\frac{1}{4}&=\frac{(4\times 3)+1}{4}\\&=\frac{12+1}{4}\\&=\frac{13}{4}\end{aligned}\]
Como segundo paso, convertimos el entero a fracción: \[\begin{aligned}2=\frac{2}{1}\end{aligned}\]
Ahora procedemos a realizar la multiplicación de estas fracciones: \[\begin{aligned}3\frac{1}{4}\times 2&=\frac{13}{4}\times\frac{2}{1}\\&=\frac{13\times 2}{4\times 1}\\&=\frac{26}{4}\\&=\frac{13}{2}\end{aligned}\]
División de fracciones
La división de fracciones es una de las operaciones básicas en matemáticas. Existen dos métodos para realizar esta operación: el método del inverso y el método del Sándwich. Ambos son procedimientos diferentes, pero conducen al mismo resultado. A continuación, te presentamos paso a paso en qué consiste cada uno.
División de fracciones por el método del inverso
Para dividir dos fracciones por el método del inverso, lo primero que se debe hacer es identificar cuál fracción es el dividendo y cuál fracción es el divisor. Por ejemplo, si se quiere dividir \(\frac{2}{3}\div\frac{5}{4}\), el dividendo es la fracción \(2/3\) y el divisor es la fracción \(5/4\).
El segundo paso consiste en invertir la fracción que representa al divisor. Para invertir una fracción, simplemente se debe pasar el numerador al lugar del denominador y viceversa. Siguiendo con el ejemplo, sabemos que la fracción que representa al divisor es \(5/4\), por lo que, invirtiendo esta fracción obtenemos \(4/5\).
Por último, se debe multiplicar la fracción que representa al dividendo por la fracción que se ha invertido, en nuestro ejemplo sería \(\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\). El resultado de esta multiplicación de fracciones es la solución de la división de fracciones. La siguiente imagen ilustra este procedimiento.
División de fracciones por el método del inverso ejemplos
Ejemplo 1. Realizar la siguiente división de fracciones.\[\frac{4}{9}\div \frac{3}{7}\]
Solución: Paso 1. Identificar al dividendo y al divisor: El dividendo es la fracción \(4/9\) y el divisor es la fracción \(3/7\).
Paso 2. Invertir la fracción que representa al divisor: Recuerda que para invertir una fracción simplemente debes pasar el numerador al lugar del denominador y el denominador al lugar del numerador, por lo tanto, si invertimos la fracción \(3/7\) obtenemos \(7/3\).
Paso 3. Realizar la multiplicación de fracciones. Recuerda que se debe multiplicar la fracción que representa al dividendo por la fracción que se ha invertido, es decir: \[\begin{aligned}\frac{4}{9}\times\frac{7}{3}&=\frac{4\times 7}{9\times 3}\\&=\frac{28}{27}\end{aligned}\]
Este resultado es el resultado de la división de las fracciones. En resumen: \[\begin{aligned}\frac{4}{9}\div \frac{3}{7}&=\frac{4}{9}\times \frac{7}{3}\\&=\frac{28}{27}\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Realizar la siguiente división de fracciones.\[\frac{8}{11}\div\frac{1}{5}\]
Solución: Paso 1. Identificar al dividendo y al divisor: El dividendo es la fracción \(8/11\) y el divisor es la fracción \(1/5\).
Paso 2. Invertir la fracción que representa al divisor: Recuerda que para invertir una fracción simplemente debes pasar el numerador al lugar del denominador y el denominador al lugar del numerador, por lo tanto, si invertimos la fracción \(1/5\) obtenemos \(5/1\).
Paso 3. Realizar la multiplicación de fracciones. \[\begin{aligned}\frac{8}{11}\times \frac{5}{1}&=\frac{8\times5}{11\times 1}\\&=\frac{40}{11}\end{aligned}\]
Este resultado es el resultado de la división de las fracciones. En resumen: \[\begin{aligned}\frac{8}{11}\div \frac{1}{5}&=\frac{8}{11}\times\frac{5}{1}\\&=\frac{40}{11}\end{aligned}\]
División de fracciones por el método del Sándwich
Para dividir dos fracciones por el método del Sándwich, lo primero que se hace es identificar cuál fracción es el dividendo y cuál fracción es el divisor. Por ejemplo, si se quiere dividir \(\frac{9}{4}\div\frac{2}{7}\), el dividendo es la fracción \(9/4\) y el divisor es la fracción \(2/7\).
El segundo paso consiste en construir una nueva fracción, en la que en el numerador se coloque la fracción que representa al dividendo y en el denominador se coloque la fracción que representa al divisor.
Por último, se deben multiplicar los números externos del arreglo para obtener como resultado el numerador de una nueva fracción y multiplicar los números internos del arreglo para obtener como resultado el denominador de la nueva fracción. La nueva fracción es el resultado de la división de fracciones. La siguiente imagen ilustra este procedimiento.
División de fracciones por el método del Sándwich ejemplos
Multiplicación y división de fracciones ejercicios para practicar
Ejercicio 1: Resuelve la siguiente multiplicación de fracciones: \[\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}\]
Ejercicio 2: Realiza la siguiente multiplicación de fracciones y simplifica el resultado a su mínima expresión: \[\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{7}\]
Ejercicio 3: Calcula el resultado de la siguiente multiplicación de fracciones y simplifica si es necesario: \[\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}\]
Ejercicio 4: Encuentra el resultado de la siguiente división de fracciones: \[\frac{1}{3} \div \frac{4}{7}\]
Ejercicio 5: Realiza la siguiente división de fracciones y simplifica la fracción resultante a su mínima expresión: \[\frac{5}{6} \div \frac{1}{2}\]
Ejercicio 6: Resuelve la siguiente división de fracciones: \[\frac{2}{3} \div \frac{1}{4}\]
Preguntas frecuentes sobre la multiplicación y división de fracciones
¿Cómo multiplicar fracciones? Para multiplicar fracciones, primero se multiplican los numeradores (los números de arriba) para obtener el nuevo numerador de la fracción resultante. Luego, se multiplican los denominadores (los números de abajo) para obtener el nuevo denominador de la fracción resultante. Finalmente, se simplifica la fracción resultante si es necesario.
¿Cómo simplificar una fracción? El procedimiento para simplificar una fracción a su forma más simple (mínima expresión) consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor.
¿Cómo dividir fracciones? El primer paso para dividir fracciones consiste en invertir la fracción que sigue al signo de división, es decir, intercambiar el numerador y el denominador. Luego, se multiplica la fracción original por la fracción invertida. Esto se hace multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Finalmente, si es necesario, se simplifica la fracción resultante.
¿Cómo multiplicar fracciones con enteros? El primer paso para multiplicar fracciones por enteros consiste en convertir el número entero en una fracción; esto se logra dividiendo el entero entre 1. Luego se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí para obtener el nuevo numerador y denominador, respectivamente, de la fracción resultante. Si es necesario se simplifica la fracción resultante.