Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos números \(a\) y \(b\) es el número más grande que divide tanto a \(a\) como a \(b\) de manera exacta. La notación para representar el máximo común divisor de \(a\) y \(b\) es: \(\text{MCD}(a, b)\).
Cálculo del máximo común divisor de dos números
El método para calcular el máximo común divisor de dos números consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos, elegir los factores comunes elevados al menor exponente y multiplicar estos factores.
¿Cómo descomponer un número en el producto de sus factores primos?
Para descomponer un número en el producto de sus factores primos, comenzamos por trazar una línea vertical. En la parte superior izquierda, colocamos el dividendo (comenzando por el número que queremos descomponer), y del lado derecho colocamos el divisor (factor primo más pequeño que divide de manera exacta al dividendo). Realizamos la división y colocamos el cociente resultante debajo del dividendo. Repetimos el proceso de división hasta que el cociente sea 1.
El producto de potencias de los factores primos corresponde a la descomposición en factores primos del número en cuestión.
Ejemplo 1. Determina la descomposición en factores primos de 324.
Solución. La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 324.
Por lo tanto, la descomposición en factores primos de 324 es: \[\begin{aligned}324&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\\&=2^2\cdot 3^4\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Realiza la descomposición en factores primos de 120.
Solución. La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos del número 120.
De esta manera, la descomposición en factores primos de 120 es: \[\begin{aligned}120&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\\&=2^3\cdot 3\cdot 5\end{aligned}\]
Ahora que sabemos cómo descomponer un número en el producto de sus factores primos, veremos el procedimiento para calcular el máximo común divisor de dos números.
Máximo común divisor de dos números ejercicios resueltos
Ejercicio 1. Calcula el máximo común divisor de 120 y 324.
Solución. Como se mencionó al inicio, los pasos para determinar el máximo común divisor de dos números son:
- Paso 1. Descomponer cada número en el producto de sus factores primos.
- Paso 2. Identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente.
- Paso 3. Multiplicar los factores elegidos.
De acuerdo con el paso 1, debemos descomponer al 120 y 324 en el producto de sus factores primos. En los ejemplos 1 y 2, obtuvimos que la descomposición en factores primos de 120 y 324 es: \[\begin{aligned}120&=2^3\cdot 3\cdot 5\\324&=2^2\cdot 3^4\end{aligned}\]
Ahora bien, de acuerdo con el paso 2, debemos identificar los factores comunes elevados al menor exponente. En este caso, los factores comunes entre ambas descomposiciones son el 2 y 3, de los cuales elegimos solo los de menor exponente, es decir, elegimos \(2^2\) y \(3\).
Por último, para el paso 3, debemos multiplicar los factores elegidos. Por lo tanto, el máximo común divisor de 120 y 324 es: \[\begin{aligned}\text{MCD}(120, 324)&=2^2\cdot 3\\&=4\cdot 3\\&=12\end{aligned}\]
Ejercicio 2. Hallar el máximo común divisor de 9 y 15.
Solución: Los pasos para hallar el máximo común divisor de dos números son:
- Paso 1. Descomponer cada número en el producto de sus factores primos.
- Paso 2. Identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente.
- Paso 3. Multiplicar los factores elegidos.
Para el primer paso, debemos descomponer cada número en el producto de sus factores primos. El proceso de descomposición en factores primos de 9 y 15 se muestra en la siguiente imagen.
Por lo tanto, la descomposición en factores primos de 9 y 15 es: \[\begin{aligned}9&=3\cdot 3\\&=3^2\\15&=3\cdot 5\end{aligned}\]
Ahora, de acuerdo con el paso 2, debemos identificar los factores primos comunes elevados al menor exponente. En este caso, solo hay un factor común, que es el 3. Por lo tanto, elegimos simplemente el 3, ya que está elevado al exponente 1. Dado que solo hay un único factor, este representa al máximo común divisor, es decir: \[\text{MCD}(9, 15)=3\]
Ejercicio 3. ¿Cuál es el máximo común divisor de 36 y 48?
Solución: Para hallar el máximo común divisor de 36 y 48, comenzamos por descomponer cada número en el producto de sus factores primos. La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 36 y 48.
De esta manera, obtenemos que la descomposición en factores primos es: \[\begin{aligned}36&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\\&=2^2\cdot 3^2\\48&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\\&=2^4\cdot 3\end{aligned}\]
Ahora, debemos identificar los factores primos comunes elevados al menor exponente. En este caso, los factores comunes son 2 y 3. De ellos, elegimos solo los que están elevados al menor exponente, es decir, elegimos \(2^2\) y \(3\).
Por lo tanto, el máximo común divisor de 36 y 48 es: \[\begin{aligned}\text{MCD}(36, 48)&=2^2\cdot 3\\&=4\cdot 3\\&=12\end{aligned}\]
Ejercicio 4. ¿Cuál es el máximo común divisor de 8 y 12?
Solución: El primer paso para hallar el máximo común divisor de dos números consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos. Luego, de esta descomposición, se deben elegir los factores comunes elevados al menor exponente y, por último, multiplicar estos factores. La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 8 y 12.
De esta manera, obtenemos que la descomposición en factores primos de 8 y 12 es: \[\begin{aligned}8&=2\cdot 2\cdot 2\\&=2^3\\12&=2\cdot 2\cdot 3\\&=2^2\cdot 3\end{aligned}\]
Ahora, debemos elegir los factores comunes elevados al menor exponente. Observa que solo hay un factor común entre ambas descomposiciones, que es el 2. De este factor común, debemos elegir el de menor exponente, es decir, elegimos \(2^2\). Por lo tanto, el máximo común divisor de 8 y 12 es: \[\begin{aligned}\text{MCD}(8, 12)&=2^2\\&=4\end{aligned}\]
El procedimiento que hemos utilizado en la solución de estos ejercicios puede resumirse a que el máximo común divisor es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente.
Máximo común divisor de tres o más números
El máximo común divisor (MCD) de tres o más números es el número más grande que divide a cada uno de ellos de manera exacta.
El método para calcular el máximo común divisor de tres o más números es el mismo que el utilizado para calcular el máximo común divisor de dos números, es decir, el método de descomposición en factores primos. Este método consta de los siguientes pasos:
- Paso 1. Descomponer cada número en el producto de sus factores primos.
- Paso 2. Identificar y seleccionar los factores comunes elevados al menor exponente.
- Paso 3. Multiplicar los factores seleccionados para obtener el máximo común divisor.
Máximo común divisor de tres números ejercicios resueltos
Ejercicio 5. Hallar el máximo común divisor de 60, 72 y 108.
Solución: El primer paso para hallar el máximo común divisor de tres números consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos. La descomposición en factores primos de 72, 108 y 60 se muestra en la siguiente imagen.
De esta manera, la descomposición en factores primos de 60, 72 y 108 es: \[\begin{aligned}60&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\\&=2^2\cdot 3\cdot 5\\72&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\\&=2^3\cdot 3^2\\108&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\\&=2^2\cdot 3^3\end{aligned}\]
El segundo paso consiste en identificar los factores comunes y elegir los que tengan menor exponente. En este caso, los factores comunes son 2 y 3. De estos, elegimos los de menor exponente, es decir, elegimos \(2^2\) y \(3\).
Por último, para hallar el máximo común divisor simplemente multiplicamos estos factores, es decir, \[\begin{aligned}\text{MCD}(60, 72, 108)&=2^2\cdot 3\\&=4\cdot 3\\&=12\end{aligned}\]
Ejercicio 6. Calcula el máximo común divisor de los siguientes tres números: 100, 150, 325.
Solución: Para calcular el máximo común divisor, primero debemos descomponer cada número en el producto de sus factores primos. El proceso de factorización de 100, 150 y 325 se muestra en la siguiente imagen:
De esta factorización, obtenemos que la descomposición en factores primos de 100, 150 y 325 es: \[\begin{aligned}100&=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\\&=2^2\cdot 5^2\\150&=2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\\&=2\cdot 3\cdot 5^2\\325&=5\cdot 5\cdot 13\\&=5^2\cdot 13\end{aligned}\]
Ahora, de esta descomposición debemos identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente. En este caso, el único factor común es el 5, ya que solo este aparece en las tres descomposiciones. Como este es el único factor común, debemos elegir el de menor exponente, es decir, \(5^2\). Dado que solo hay un único factor, este representa al máximo común divisor, es decir: \[\begin{aligned}\text{MCD}(100, 150, 325)&=5^2\\&=25\end{aligned}\]
Máximo común divisor ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1. Determina el máximo común divisor de 15 y 33.
Para hallar el máximo común divisor utilizando el método de la descomposición en factores primos, primero debemos descomponer cada número en el producto de sus factores primos, luego identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente y, por último, multiplicar las potencias elegidas.
El proceso de descomposición (factorización) en números primos de 15 y 33 se muestra en la siguiente imagen:
Por lo tanto, la descomposición en factores primos de 15 y 33 es: \[\begin{aligned}15&=3\cdot 5\\33&=3\cdot 11\end{aligned}\]
Ahora, de esta descomposición, debemos identificar los factores comunes y elegir aquellos con menor exponente. Observa que en este caso solo hay un factor común, que es el 3. El menor exponente con el que este factor aparece es uno. Debes tener en cuenta que cuando un número aparece sin exponente, se considera que su exponente es uno. En este caso, \(3=3^1\).
Como solo hay un único factor, este representa al máximo común divisor, es decir: \[\text{MCD}(15, 33)=3\]
Ejercicio resuelto 2. Calcula el máximo común divisor de 180 y 225 utilizando la descomposición factorial.
Solución: El proceso de descomposición factorial (descomposición en factores primos) de 180 y 225 se muestra en la siguiente imagen:
De esta manera, obtenemos que la descomposición en factores primos de 180 y 225 es: \[\begin{aligned}180&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\\&=2^2\cdot 3^2\cdot 5\\225&=3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\\&=3^2\cdot 5^2\end{aligned}\]
Ahora, de esta descomposición, debemos identificar los factores comunes y elegir aquellos con menor exponente. En este caso, los factores comunes son 3 y 5. De estos, elegimos \(3^2\) y \(5\), de manera que el máximo común divisor se obtiene al multiplicar estas potencias. Por lo tanto, el máximo común divisor de 180 y 225 es: \[\begin{aligned}\text{MCD}(180, 25)&=3^2\cdot 5\\&=9\cdot 5\\&=45\end{aligned}\]
Ejercicio resuelto 3. Calcular el máximo común divisor (MCD) de 12 y 36.
Solución: El máximo común divisor se puede determinar mediante el método de descomposición en factores primos. Sin embargo, en este caso, observa que 12 es un divisor exacto de 36. Por lo tanto, para determinar el máximo común divisor, podemos aplicar el siguiente criterio:
Si \(a\) es un divisor exacto de \(b\), entonces el máximo común divisor de \(a\) y \(b\) es \(a\). Es decir, \(\text{MCD}(a, b)=a\).
De esta manera, obtenemos que 12 es el máximo común divisor de 12 y 36. Es decir, \[ \text{MCD}(12, 36) = 12 \]
Primos relativos, coprimos o primos entre sí
Cuando el máximo común divisor de dos o más números es uno, se dice que estos son primos relativos, coprimos o primos entre sí.
Ejemplo. Determina el máximo común divisor de 182 y 165.
Solución: Para hallar el máximo común divisor mediante el método de descomposición en factores primos, primero debemos encontrar la descomposición (factorización) en factores primos de cada número. Este procedimiento se muestra en la siguiente imagen:
De esta manera, la descomposición en factores primos de 182 y 165 es: \[\begin{aligned}182&=2\cdot 7\cdot 13\\165&=3\cdot 5\cdot 11\end{aligned}\]
Ahora, de esta descomposición debemos identificar los factores comunes y de entre ellos, elegir los de menor exponente. Observa que en este caso no hay factores primos en común, lo que significa que los números no tienen divisores comunes, aparte del 1. Por lo tanto, el máximo común divisor de 182 y 165 es 1, es decir: \[\text{MCD}(182, 165)=1\] De esta manera, podemos concluir que 182 y 165 son primos relativos, coprimos o primos entre sí.
Ejercicio resuelto 4. ¿Cuál es el máximo común divisor de 2, 3 y 5?
Respuesta: El máximo común divisor (MCD) de 2, 3 y 5 es 1. Esto se debe a que estos números son primos entre sí, lo que significa que no comparten ningún factor primo en común más allá del 1. Como resultado, el único divisor común más grande que pueden tener es 1.
¿Para qué se usa el máximo común divisor?
El máximo común divisor (MCD) se utiliza en matemáticas para encontrar el mayor número que divide exactamente a dos o más números dados sin dejar residuo.
Dos de las principales aplicaciones del máximo común divisor son simplificar fracciones a su mínima expresión y calcular el mínimo común múltiplo. Veamos a continuación de manera detallada estas dos aplicaciones.
Máximo común divisor para simplificar fracciones a su mínima expresión
Una fracción se encuentra en su mínima expresión cuando utiliza el numerador y denominador más pequeños posibles. El procedimiento para simplificar fracciones a su mínima expresión consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor.
Ejercicio resuelto 6. Simplifica la fracción \(24/36\) a su mínima expresión.
Solución: Para simplificar una fracción a su mínima expresión, debemos dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor. Es decir, por el máximo común divisor del numerador y del denominador.
Por lo tanto, para simplificar la fracción \(24/36\), necesitamos encontrar el máximo común divisor de 24 y 36. Recuerda que el método para calcular el máximo común divisor de dos números consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos, identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente, y luego multiplicar estos factores.
La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 24 y 36.
De esta factorización, obtenemos que la descomposición en factores primos de 24 y 36 es: \[\begin{aligned}24&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\\&=2^3\cdot 3\\36&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\\&=2^2\cdot 3^2\end{aligned}\]
Ahora, de esta descomposición debemos identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente. En este caso, los factores comunes son 2 y 3. De ellos, elegimos los de menor exponente, es decir, \(2^2\) y \(3\). Por último, simplemente multiplicamos estas potencias. Así, el máximo común divisor de 24 y 36 es: \[\begin{aligned}\text{MCM}(24, 36)&=2^2\cdot 3\\&=4\cdot 3\\&=12\end{aligned}\]
Ahora que conocemos el valor del máximo común divisor, simplemente dividimos tanto el numerador como el denominador por 12: \[\begin{aligned}\frac{24}{12}&=2\\\frac{36}{12}&03\end{aligned}\]
Por lo tanto, la fracción simplificada a su mínima expresión es \(2/3\).
Ejercicio resuelto 7. Simplifica la siguiente fracción a su mínima expresión: \(9/15\).
Solución: Para simplificar una fracción a su mínima expresión, simplemente debemos dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor.
Con esta idea, primero debemos hallar el máximo común divisor de 9 y 15.
En el ejercicio 2, obtuvimos que el máximo común divisor (MCD) de 9 y 15 es 3. Entonces, dividimos tanto el numerador como el denominador por 3: \[\begin{aligned}\frac{9}{3}&=3\\\frac{15}{3}&=5\end{aligned}\] De esta manera, obtenemos que la fracción reducida a su mínima expresión es \(3/5\).
Máximo común divisor para calcular el mínimo común múltiplo
Una forma diferente de calcular el mínimo común múltiplo es mediante el máximo común divisor. Es decir, si conocemos el valor del máximo común divisor, entonces el mínimo común múltiplo es igual al producto de los números dividido entre el máximo común divisor. Matemáticamente, esto se expresa como: \[\text{mcm}(a, b)=\frac{a\cdot b}{\text{MCD}(a, b)}\]
Además, si conocemos el valor del mínimo común múltiplo, entonces el máximo común divisor es igual al producto de los números dividido entre el mínimo común múltiplo. Matemáticamente, esta relación se expresa como: \[\text{MCD}(a, b)=\frac{a\cdot b}{\text{mcm}(a, b)}\]
Ejercicio resuelto 8. Sabiendo que el mínimo común múltiplo de 8 y 12 es 24, calcula su máximo común divisor.
Solución: Para hallar el máximo común divisor de 8 y 12 sin recurrir al método de descomposición en factores primos, podemos emplear el hecho de que conocemos el valor del mínimo común múltiplo. Es decir, podemos aplicar la relación matemática: \[\text{MCD}(a, b)=\frac{a\cdot b}{\text{mcm}(a, b)}\]
Sustituyendo los valores, obtenemos: \[\begin{aligned}\text{MCD}(8, 12)&=\frac{8\cdot 12}{24}\\&=\frac{12}{3}\\&=4\end{aligned}\] Por lo tanto, el máximo común divisor de 8 y 12 es 4.
Para verificar este resultado, puedes observar que coincide con el obtenido mediante el método de descomposición en factores primos en el ejercicio 4.
Máximo común divisor ejercicios para practicar
Ejercicio 1. Calcula el máximo común divisor de los siguientes números usando la descomposición factorial. \[32, 56\]
Ejercicio 2. Calcula el máximo común divisor (MCD) de 75 y 90.
Ejercicio 3. ¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 210 y 315?
Ejercicio 4. Calcula el máximo común divisor de los siguientes tres números: 14, 21 y 35.
Ejercicio 5. ¿Cuál es el máximo común divisor de 33, 88 y 121?
Ejercicio 6. Simplifica la siguiente fracción utilizando el máximo común divisor: \(42/63\).
Ejercicio 7. Simplifica la fracción \(56/84\) a su mínima expresión.
Ejercicio 8. Si el mínimo común múltiplo de 108 y 144 es 432, ¿Cuál es su máximo común divisor?
Preguntas frecuentes sobre el máximo común divisor
¿Qué es el máximo común divisor? En matemáticas, el máximo común divisor (MCD) es el número de mayor valor que divide de manera exacta a dos o más números enteros a la vez.
¿Cómo sacar el máximo común divisor? El mejor método para calcular el máximo común divisor es el método de descomposición en factores primos, el cual consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos, identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente y multiplicar estos factores.
¿Cómo obtener el máximo común divisor? Para obtener el máximo común divisor de dos o más números simplemente se multiplican sus factores primos comunes elevados al menor exponente.
¿Para qué sirve el máximo común divisor? El máximo común divisor se utiliza para simplificar fracciones, encontrar denominadores comunes en operaciones con fracciones, factorizar polinomios, resolver ecuaciones y calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números.