Simplificación de fracciones
Siempre que se divida tanto el numerador como el denominador de una fracción por un mismo número, se obtendrá una fracción equivalente. A este proceso se le conoce como simplificación de fracciones.
Para poder llevar a cabo la división del numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, es necesario que este sea un divisor común, es decir, que sea divisor tanto del numerador como del denominador.
Simplificar fracciones es un proceso fundamental que implica reducir una fracción a su forma más simple, es decir, a su mínima expresión.
Simplificación de fracciones a su mínima expresión
El método para simplificar fracciones a su mínima expresión consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD). Este método permite obtener una fracción equivalente que conserva el mismo valor, pero reducida a su mínima expresión, es decir, a una fracción irreducible.
Fracción irreducible
Una fracción irreducible, también conocida como fracción en su forma más simple o fracción en su mínima expresión, es aquella que no puede simplificarse más. En otras palabras, es una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son números primos, coprimos o primos relativos entre sí, es decir, es aquella en la que el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1.
Por ejemplo: La fracción \(2/3\) es irreducible debido a que el 2 y el 3 son números primos entre sí. Además, el máximo común divisor de 2 y 3 es 1, es decir, \(\text{MCD}(2, 3)=1\).
Del mismo modo, la fracción \(3/4\) es irreducible debido a que el máximo común divisor de 3 y 4 es 1, es decir, \(\text{MCD}(3, 4)=1\).
Veamos a continuación el procedimiento para simplificar fracciones a su mínima expresión.
Simplificar fracciones a su mínima expresión ejemplos
Ejemplo 1. Simplifica la fracción \(96/128\) a su mínima expresión.
Solución: Para simplificar la fracción \(96/128\) a su mínima expresión, primero debemos encontrar el máximo común divisor del numerador y del denominador, es decir, calcular \(\text{MCD}(96, 128)\). Luego, con el resultado obtenido, debemos dividir tanto el numerador como el denominador.
El método efectivo para calcular el máximo común divisor de dos números consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos. Luego, identificar los factores comunes y elegir aquellos con el menor exponente. Por último, multiplicar las potencias elegidas.
El proceso de descomposición en factores primos de 96 y 128 se muestra en la siguiente imagen:
De esta factorización, obtenemos que la descomposición en factores primos de 96 y 128 es:
Ahora, debemos identificar los factores comunes y de estos seleccionar los de menor exponente. Observa que, en este caso, el único factor común es el número 2. Por lo tanto, elegimos el de menor exponente, es decir, \(2^5\). Dado que solo hay un único factor común, este representa al máximo común divisor, es decir: \[\begin{aligned}\text{MCD}(96, 128)&=2^5\\&=32\end{aligned}\]
Ahora que conocemos el valor del máximo común divisor, simplemente dividimos tanto el numerador como el denominador por 32: \[\begin{aligned}\frac{96}{128}&=\frac{96\div 32}{128\div 32}\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción reducida a su mínima expresión es \(3/4\).
Ejemplo 2. Simplifica la siguiente fracción a su mínima expresión: \[\frac{378}{504}\]
Solución: El método para simplificar una fracción a su mínima expresión consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor.
Entonces, primero, debemos hallar el máximo común divisor del numerador y del denominador, es decir, debemos calcular \(\text{MCD}(378, 504)\).
Para calcular el máximo común divisor de 378 y 504, primero descomponemos cada número en el producto de sus factores primos. Luego, identificamos los factores comunes y elegimos aquellos con el menor exponente. Finalmente, multiplicamos las potencias elegidas.
La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 378 y 504:
De esta manera, obtenemos que la descomposición en factores primos (factorización prima) de 378 y 504 es:
De esta descomposición, Identificamos que los factores comunes son 2, 3 y 7. De estos elegimos \(2\), \(3^2\) y \(7\). Por último, para hallar el máximo común divisor simplemente multiplicamos estas potencias, es decir: \[\begin{aligned}\text{MDC}(378, 504)&=2\cdot 3^2\cdot 7\\&=2\cdot 9\cdot 7\\&=126\end{aligned}\]
Ahora que conocemos el valor del máximo común divisor, simplemente dividimos tanto el numerador como el denominador de la fracción por 126. Este proceso se muestra a continuación: \[\begin{aligned}\frac{378}{504}&=\frac{378\div 126}{504\div 126}\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción reducida a su mínima expresión es \(3/4\).
Simplificación de fracciones por eliminación de factores comunes
Un segundo método para simplificar fracciones consiste escribir el numerador y el denominador como el producto de sus factores primos (factorización prima). Este método permite eliminar potencias de base común para simplificar fracciones.
Ejemplo 1. Simplifica la fracción \(25/375\) a su mínima expresión.
Solución: Para simplificar la fracción a su mínima expresión mediante el método de eliminación de factores comunes, sigue los siguientes pasos:
- Paso 1: Escribe el numerador y el denominador como el producto de sus respectivos factores primos.
- Paso 2: Simplifica las potencias con base común.
Para el primer paso, debemos hallar la factorización prima de 25 y 375. La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 25 y 375:
De esta manera, obtenemos que la descomposición en factores primos de 25 y 375 es: \[\begin{aligned}25&=5\cdot 5\\&=5^2\\375&=3\cdot 5\cdot 5\cdot 5\\&=3\cdot 5^3\end{aligned}\]
Entonces, la fracción \(25/375\) la podemos escribir como: \[\frac{25}{375}=\frac{5^2}{3\cdot 5^3}\]
El segundo paso implica simplificar las potencias de base común. Para simplificar una potencia, aplicamos las propiedades de las potencias. En particular, se aplica la propiedad de un cociente de potencias con la misma base.
Observa que en este caso la base común es 5. En el numerador se tiene la potencia \(5^2\) y en el denominador la potencia \(5^3\). Por lo tanto: \[\begin{aligned}\frac{25}{375}&=\frac{5^2}{3\cdot 5^3}\\&=\frac{1}{3\cdot 5}\\&=\frac{1}{15}\end{aligned}\] De esta manera, concluimos que la fracción reducida a su mínima expresión es \(1/15\).
Ejemplo 2. Simplifica la siguiente fracción a su forma más simple. \[\frac{54}{72}\]
Solución: Para simplificar una fracción a su mínima expresión mediante el método de eliminación de factores comunes, primero debemos escribir el numerador y el denominador como el producto de sus respectivos factores primos y luego debemos simplificar las potencias de base común.
La descomposición en factores primos del numerador (54) y del denominador (72) es: \[\begin{aligned}54&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\\&=2\cdot 3^3\\72&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\\&=2^3\cdot 3^2\end{aligned}\]
Por lo tanto, la fracción \(54/72\) se puede escribir como: \[\frac{54}{72}=\frac{2\cdot 3^3}{2^3\cdot 3^2}\]
Para simplificar las potencias de base común, observa que en este caso las bases comunes son el 2 y 3. Aplicando la propiedad del cociente de potencias con la misma base, obtenemos que: \[\begin{aligned}\frac{54}{72}&=\frac{2\cdot 3^3}{2^3\cdot 3^2}\\&=\frac{3}{2^2}\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción reducida a su mínima expresión es \(3/4\).
Reducir fracciones a su mínima expresión ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1. Simplifica la fracción \(12/15\) a su mínima expresión.
Solución: Recuerda que simplificar una fracción a su mínima expresión implica transformarla en una fracción equivalente irreducible. Este proceso se logra dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor.
Para hallar el máximo común divisor de 12 y 15, primero descomponemos ambos números en factores primos. La descomposición en factores primos de 12 y 15 es la siguiente:
De esta factorización, obtenemos que la descomposición en factores primos de 12 y 15 es: \[\begin{aligned}12&=2\cdot 2\cdot 3\\&=2^2\cdot 3\\15&=3\cdot 5\end{aligned}\]
Ahora, identificamos los factores comunes de estas descomposiciones y elegimos aquellos con los menores exponentes. En este caso, el único factor común es el 3, con un exponente de uno. Dado que solo hay un único factor común, este representa al máximo común divisor. Por lo tanto, \(\text{MCD}(12, 15)=3\).
Ahora que conocemos el máximo común divisor, simplemente dividimos tanto el numerador como el denominador por 3: \[\begin{aligned}\frac{12}{15}&=\frac{12\div 3}{15\div 3}\\&=\frac{4}{5}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción \(12/15\) simplificada a su mínima expresión es \(4/5\).
Ejercicio resuelto 2. Simplifica la siguiente fracción a su mínima expresión: \[\frac{180}{126}\]
Solución: Para simplificar la fracción \(180/126\) a su mínima expresión, seguiremos el método estándar que consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD).
Primero, calculamos el máximo común divisor de 180 y 126. El proceso de descomposición en factores primos de 180 y 126 se muestra en la siguiente imagen:
De esta factorización, obtenemos que la descomposición en factores primos de 180 y 126 es: \[\begin{aligned}180&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\\&=2^2\cdot 3^2\cdot 5\\126&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\\&=2\cdot 3^2\cdot 7\end{aligned}\]
De esta descomposición, debemos identificar los factores comunes y de estos elegir los de menor exponente. Observa que en este caso los factores comunes son 2 y 3. De estos, elegimos \(2\) y \(3^2\), pues son los de menor exponente. Por último, para hallar el máximo común divisor simplemente multiplicamos estas potencias, es decir: \[\begin{aligned}\text{MDC}(180, 126)&=2\cdot 3^2\\&=2\cdot 9\\&=18\end{aligned}\]
Ahora que conocemos el valor del máximo común divisor, procedemos a dividir tanto el numerador como el denominador de la fracción por 18: \[\begin{aligned}\frac{180}{126}&=\frac{180\div 18}{126\div 18}\\&=\frac{10}{7}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción reducida a su mínima expresión es \(10/7\).
Ejercicio resuelto 3. Simplifica las fracciones a su mínima expresión. \[\frac{828}{288}, \frac{144}{360}\]
Solución: Para simplificar la fracción \(828/288\) a su mínima expresión, simplemente debemos dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor.
Para calcular el máximo común divisor de dos números, primero debemos descomponer cada número en el producto de sus factores primos. Luego, identificar los factores comunes y de estos elegir aquellos que tengan el menor exponente. Por último, multiplicar las potencias elegidas.
La descomposición en factores primos de 828 y 288 es: \[\begin{aligned}828&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 23\\&=2^2\cdot 3^2\cdot 23\\288 &=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\\&=2^5\cdot 3^2\end{aligned}\]
Observa que los factores comunes son 2 y 3. De estos, elegimos los de menor exponente, que son \(2^2\) y \(3^2\). Por lo tanto, el máximo común divisor de 828 y 288 es: \[\begin{aligned}\text{MCD}(828, 288)&=2^2\cdot 3^2\\&=4\cdot 9\\&=36\end{aligned}\]
Ahora, para obtener la fracción en su mínima expresión, dividimos el numerador y el denominador por este máximo común divisor: \[\begin{aligned}\frac{828}{288}&=\frac{828\div 36}{288\div 36}\\&=\frac{23}{8}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción reducida a su forma más simple (mínima expresión) es \(23/8\).
Para simplificar la fracción \(144/360\) a su mínima expresión, primero necesitamos encontrar su máximo común divisor (MCD) y luego dividir tanto el numerador como el denominador por el valor de este máximo común divisor.
Para hallar el máximo común divisor, primero descomponemos ambos números en el producto de sus factores primos: \[\begin{aligned}144&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\\&=2^4\cdot 3^2\\360&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\\&=2^3\cdot 3^2\cdot 5\end{aligned}\]
Ahora, identificamos los factores comunes con el menor exponente, que son \(2^3\) y \(3^2\). Por lo tanto, el MCD de 144 y 360 es: \[\begin{aligned}\text{MCD}(144, 360)&=2^3\cdot 3^2\\&=8\cdot 9\\&=72\end{aligned}\]
Ahora, dividimos tanto el numerador como el denominador por el máximo común divisor: \[\begin{aligned}\frac{144}{360}&=\frac{144\div 72}{360\div 72}\\&=\frac{2}{5}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción simplificada a su mínima expresión es \(2/5\).
Ejercicio resuelto 4. Simplifica la siguiente fracción a su mínima expresión empleando el máximo común divisor: \[\frac{480}{105}\]
Solución: Para simplificar la fracción a su mínima expresión, primero expresamos el numerador y el denominador como producto de números primos (descomposición factorial): \[\begin{aligned}480&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\\&=2^5\cdot 3\cdot 5\\105&=3\cdot 5\cdot 7\end{aligned}\]
Para obtener el máximo común divisor de 480 y 105, multiplicamos los factores comunes con menor exponente. En este caso los factores comunes son 3 y 5. Elegimos estos factores porque aparecen con exponente 1. De tal manera que: \[\begin{aligned}\text{MCD}(480, 105)&=3\cdot 5\\&=15\end{aligned}\]
Ahora, dividimos el numerador y denominador de la fracción por este MCD: \[\begin{aligned}\frac{480}{105}&=\frac{480\div 15}{105\div 15}\\&=\frac{32}{7}\end{aligned}\] Por lo tanto, la fracción reducida a su mínima expresión (forma más simple) es \(32/7\).
Preguntas frecuentes sobre simplificación de fracciones a su mínima expresión
¿Qué significa simplificar una fracción a su mínima expresión? Simplificar una fracción a su mínima expresión significa reducirla a una forma en la que el numerador y el denominador no tengan factores comunes además de 1. En otras palabras, se trata de encontrar una fracción equivalente que esté expresada de la manera más simple posible.
¿Cuál es el método para simplificar una fracción a su mínima expresión? El método para simplificar una fracción a su mínima expresión consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD).
¿Cómo se calcula el máximo común divisor (MCD) de dos números? El método para calcular el máximo común divisor de dos números se basa en el método de descomposición en factores primos. Este consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos, identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente y multiplicar estos factores.
¿Qué sucede si la fracción ya está en su mínima expresión? Si la fracción ya está en su mínima expresión, significa que el numerador y el denominador no tienen factores comunes además de 1. En este caso, no se puede simplificar aún más y la fracción ya está en su forma más simple.
¿Cuándo una fracción es irreducible? Una fracción es irreductible cuando el máximo común divisor de su numerador y denominador es 1.
¿Por qué es importante simplificar las fracciones a su mínima expresión? Simplificar las fracciones a su mínima expresión facilita su comprensión y manejo en operaciones matemáticas, tales como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Esto se debe a que es mucho más fácil realizar operaciones con números pequeños que con números de varias cifras.
¿Qué es una fracción en su mínima expresión? Una fracción se escribe en su mínima expresión cuando utiliza el numerador y denominador lo más pequeños posibles.