¿Qué son las fracciones equivalentes?
Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad o valor, pero que tienen distintos numeradores y denominadores. Esto significa que, aunque las fracciones parezcan diferentes, en realidad representan la misma proporción de un todo.
Por ejemplo, las fracciones \(1/2\) y \(2/4\) son fracciones equivalentes porque ambas representan la mitad de algo. Veamos este ejemplo a detalle.
- La fracción \(1/2\) indica que un entero se ha dividido en dos partes iguales, de las cuales se ha tomado solo una.
- La fracción \(2/4\) indica que un entero se ha dividido en cuatro partes iguales, de las cuales se han tomado dos.
La siguiente imagen muestra una representación de estas fracciones.
Como podrás observar, las fracciones \(1/2\) y \(2/4\) tienen diferentes numeradores y denominadores, pero representan la misma proporción del entero.
Ejemplos de fracciones equivalentes
A continuación, se presentan algunos ejemplos de fracciones equivalentes de algunas de las fracciones más comunes. Estos ejemplos muestran cómo una fracción puede tener múltiples representaciones, pero sigue denotando la misma cantidad o la misma parte de una totalidad. \[\begin{aligned}1/2&=2/4\\2/3&=4/6\\3/4&=6/8=9/12\\1/2&=3/6=5/10\end{aligned}\]
A continuación, veamos un método para verificar si dos o más fracciones son equivalentes.
¿Cómo saber si dos fracciones son o no equivalentes?
Dadas las fracciones \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\), si el producto de \(a\cdot d\) es igual al producto de \(b\cdot c\), entonces las fracciones son equivalentes. Es decir, \(a/b\) y \(c/d\) son equivalentes si \(a\cdot d=b\cdot c\).
Ejemplo 1. Determina si las fracciones \(\frac{1}{2}\) y \(\frac{2}{4}\) son equivalentes.
Solución: Para determinar si dos fracciones son equivalentes, debemos verificar si los productos cruzados son iguales o diferentes. Para ello, primero multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, es decir: \[1\cdot 4=4\]
Luego, multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, es decir: \[2\cdot 2=4\]
Como ambos productos son iguales, podemos concluir que las fracciones \(1/2\) y \(2/4\) son equivalentes.
Ejemplo 2. Prueba que las fracciones \(\frac{2}{3}\) y \(\frac{4}{6}\) son fracciones equivalentes.
Solución: Para demostrar que dos fracciones son equivalentes, debemos multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción. Si el resultado de ambas multiplicaciones es el mismo, entonces las fracciones son equivalentes; de lo contrario, no lo son.
Al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, obtenemos: \[2\cdot 6=12\]
Al multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, obtenemos: \[3\cdot 4=12\]
Por lo tanto, como el resultado de ambas multiplicaciones es el mismo, podemos concluir que las fracciones \(2/3\) y \(4/6\) son equivalentes.
Ejemplo 3. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes: \[\frac{4}{5},\frac{5}{10}\]
Solución: Para determinar si dos fracciones son equivalentes, simplemente multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y comparamos este resultado con el que se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción. Si ambos resultados son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.
Veamos entonces: \[\begin{aligned}4\cdot 10&=40\\5\cdot 5&=25\end{aligned}\]
Como los resultados de las multiplicaciones no son iguales, concluimos que las fracciones no son equivalentes.
¿Cómo saber si tres o más fracciones son o no equivalentes?
Dadas las fracciones \(\frac{a}{b}\), \(\frac{c}{d}\) y \(\frac{e}{f}\), si las fracciones \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) son equivalentes, y \(\frac{c}{d}\) es equivalente a \(\frac{e}{f}\), entonces \(\frac{a}{b}\) también es equivalente a \(\frac{e}{f}\), y por lo tanto, todas las fracciones son equivalentes. En otras palabras, dos fracciones equivalentes son equivalentes con una tercera fracción si esta tercera es equivalente a alguna de las primeras dos.
Ejemplo 4. Prueba si las siguientes tres fracciones son equivalentes: \[\frac{3}{4}, \frac{6}{8}, \frac{9}{12}\]
Solución: Para demostrar que las tres fracciones son equivalentes, primero debemos mostrar que dos de ellas lo son. Recuerda que dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados son iguales, es decir, si el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción es igual al producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción.
Para las fracciones \(3/4\) y \(6/8\), observamos que: \[\begin{aligned}3\cdot 8&=24\\4\cdot 6&=24\end{aligned}\] Como los productos son iguales, entonces estas dos fracciones son equivalentes.
Ahora veamos qué ocurre con las fracciones \(6/8\) y \(9/12\): \[\begin{aligned}6\cdot 12&=72\\8\cdot 9&=72\end{aligned}\] Dado que los productos cruzados son iguales, las fracciones \(6/8\) y \(9/12\) también son equivalentes.
Por lo tanto, como las fracciones \(3/4\) y \(6/8\) son equivalentes y la fracción \(6/8\) es equivalente a la fracción \(9/12\), entonces la fracción \(9/12\) también es equivalente a \(3/4\). Por lo tanto, las tres fracciones son equivalentes entre sí.
Ejemplo 5. Determina si las siguientes 3 fracciones son equivalentes: \[\frac{1}{2}, \frac{3}{6}, \frac{5}{10}\]
Solución. Para determinar si las tres fracciones son equivalentes, primero debemos verificar que dos de ellas lo sean, para luego con una de estas verificar la equivalencia con la tercera. Para comprobar la equivalencia entre dos fracciones, recuerda que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales.
Para las fracciones \(1/2\) y \(3/6\) obtenemos que: \[\begin{aligned}1\cdot 6&=6\\2\cdot 3&=6\end{aligned}\] Dado que los productos cruzados son iguales, entonces las fracciones \(1/2\) y \(3/6\) son equivalentes.
Ahora veamos qué ocurre con los productos cruzados de las fracciones \(3/6\) y \(5/10\): \[\begin{aligned}3\cdot 10&=30\\6\cdot 5&=30\end{aligned}\]
Al obtener productos cruzados iguales, concluimos que las fracciones \(3/6\) y \(5/10\) son equivalentes.
Por lo tanto, si sabemos que la fracción \(1/2\) es equivalente a \(3/6\), y \(3/6\) es equivalente a \(5/10\), entonces podemos afirmar que \(1/2\) también es equivalente a \(5/10\). Así, todas las fracciones son equivalentes.
¿Cómo calcular fracciones equivalentes?
Calcular fracciones equivalentes por amplificación
El método de amplificación para obtener fracciones equivalentes consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador de una fracción por un mismo número entero distinto de cero. Esto permite obtener una fracción que tenga el mismo valor, pero una representación numérica diferente.
Ejemplo 6. Encuentra una fracción equivalente a \(\frac{1}{2}\) utilizando el método de amplificación.
Solución: Para hallar una fracción equivalente a \(1/2\) mediante el método de amplificación, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Si multiplicamos por 3, obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{1}{2}&=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}\\&=\frac{3}{6}\end{aligned}\]
Por lo tanto, la fracción \(3/6\) es equivalente a \(1/2\).
El método de amplificación permite obtener fracciones equivalentes con el numerador y denominador cada vez mayores. Por ejemplo, al multiplicar por 5 la fracción equivalente \(3/6\), obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{3}{6}&=\frac{3\cdot 5}{6\cdot 5}\\&=\frac{15}{30}\end{aligned}\]
Así, la fracción \(15/30\) es equivalente a \(3/6\), y por lo tanto también es equivalente a \(1/2\).
Calcular fracciones equivalentes por simplificación
El método de simplificación para hallar fracciones equivalentes consiste en reducir una fracción a su forma más simple dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD). Al hacerlo, se obtiene una fracción equivalente que conserva el mismo valor, pero reducido a su mínima expresión.
Ejemplo 7. Encuentra una fracción equivalente, en su forma más simple, a la fracción \(6/12\).
Solución: El método de simplificación para encontrar fracciones equivalentes indica que debemos dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor para obtener una fracción equivalente en su forma más simple.
En este caso, para la fracción \(6/12\), encontramos que el máximo común divisor de 6 y 12 es 6. Por lo tanto, dividimos tanto el numerador como el denominador por este valor, lo que nos da: \[\begin{aligned}\frac{6}{12}&=\frac{6/6}{12/6}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}\]
Así, la fracción equivalente, en su forma más simple, a \(6/12\) es \(1/2\).
Otra forma de obtener fracciones equivalentes mediante el método de simplificación consiste en dividir tanto el numerador como el denominador de la fracción entre un mismo número entero (distinto de cero), siempre que estas divisiones sean exactas. Este método se utiliza cuando se desea obtener una fracción equivalente con un numerador y denominador de menor valor.
Ejemplo 8. Encuentra una fracción equivalente a la fracción \(6/12\) utilizando el método de simplificación simple.
Solución: Para obtener una fracción equivalente a \(6/12\) mediante el método de simplificación simple, dividimos tanto el numerador como el denominador entre 2, ya que son números pares. Dado que la división es exacta (el residuo es cero), obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{6}{12}&=\frac{6/2}{12/2}\\&=\frac{3}{6}\end{aligned}\]
Así, encontramos que una fracción equivalente a \(6/12\) es \(3/6\). Observa que esta fracción tiene números menores en el numerador y el denominador en comparación con la fracción original.
También podemos obtener otra fracción equivalente a \(6/12\) mediante el método de simplificación simple, dividiendo el numerador y el denominador de la fracción equivalente \(3/6\). Si dividimos ambos entre 3, obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{3}{6}&=\frac{3/3}{6/3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}\]
Observa que así obtenemos la fracción equivalente en su forma más simple, que se obtuvo en el ejemplo 7.
A diferencia del método de amplificación para encontrar fracciones equivalentes, que se puede aplicar múltiples veces, el método de simplificación para hallar fracciones equivalentes solo es posible cuando el numerador y el denominador tienen un divisor común mayor que 1. En otras palabras, la simplificación de fracciones es un proceso que termina cuando se alcanza una fracción que no puede simplificarse más.
Fracciones equivalentes ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1. Determina si las fracciones \(5/9\) y \(8/11\) son fracciones equivalentes.
Solución: Para determinar si las fracciones \(5/9\) y \(8/11\) son equivalentes, podemos calcular sus productos cruzados. Si los productos cruzados son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.
Veamos entonces que, para \(5/9\) y \(8/11\) obtenemos: \[\begin{aligned}5\cdot 11&=55\\9\cdot 8&=72\end{aligned}\]
Como los productos cruzados no son iguales, pues \(55\neq 72\), entonces podemos concluir que las fracciones \(5/9\) y \(8/11\) no son equivalentes.
Ejercicio resuelto 2. Demuestra que las fracciones \(3/2\) y \(27/18\) son fracciones equivalentes.
Solución: Para demostrar que las fracciones \(3/2\) y \(27/18\) son equivalentes, podemos calcular sus productos cruzados. Si los productos cruzados son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.
Veamos, para \(3/2\) y \(27/18\) obtenemos que: \[\begin{aligned}3\cdot 18&=54\\2\cdot 27&=54\end{aligned}\]
Como los productos cruzados son iguales, es decir, (\(54=54\)), podemos concluir que las fracciones \(3/2 \) y \(27/18\) son fracciones equivalentes.
Ejercicio resuelto 3. Encuentra una fracción equivalente a la fracción \(2/5\) cuyo denominador sea 30.
Solución: Supongamos que la fracción \(c/d\) es una fracción equivalente a \(2/5\). Dado que se requiere que la fracción tenga un denominador de 30, entonces la fracción equivalente es \(c/30\). Como ambas son fracciones equivalentes, se cumple que sus productos cruzados son iguales, es decir, el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción es igual al producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción. Matemáticamente, esto se expresa como: \[\begin{aligned}2\cdot 30&=60\\5\cdot c&=60\end{aligned}\]
Despejando "c" de la segunda igualdad, obtenemos que \(c=12\). Por lo tanto, una fracción equivalente a \(2/5\) cuyo denominador es 30, es la fracción \(12/30\).
Ejercicio resuelto 4. Calcular una fracción equivalente a la fracción \(11/12\) cuyo numerador sea 33.
Solución: Para encontrar la fracción equivalente, podemos suponer que la fracción \(c/d\) es una fracción equivalente a \(11/12\). Dado que se pide que la fracción equivalente tenga un numerador de 33, entonces la fracción equivalente se representa como \(33/d\). Como estamos asumiendo que la fracción \(33/d\) es equivalente a la fracción \(11/12\), se cumple que sus productos cruzados son iguales, es decir, se cumple que: \[\begin{aligned}33\cdot 12&=396\\d\cdot 11&=396\end{aligned}\]
Despejando "d" de la segunda igualdad, obtenemos que \(d=36\). Por lo tanto, una fracción equivalente a \(11/12\) cuyo numerador es 33, es la fracción \(33/36\).
Ejercicio resuelto 5. ¿Son las fracciones \(4/7\) y \(5/10\) equivalentes?
Solución: Para determinar si las fracciones \(4/7\) y \(5/10\) son equivalentes, podemos calcular sus productos cruzados. Si los productos cruzados son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.
Veamos, para las fracciones \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{5}{10} \) obtenemos que: \[\begin{aligned}4\cdot 10&=40 \\7\cdot 5&=35\end{aligned}\]
Como los productos cruzados obtenidos no son iguales, pues 40 no es igual a 35, entonces podemos concluir que las fracciones \(4/7\) y \(5/10\) no son equivalentes.
Fracciones equivalentes ejercicios para practicar
Ejercicio 1. Encuentra una fracción equivalente a \(2/3\) que tenga un denominador de 9.
Ejercicio 2. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes o no: \(3/5\) y \(9/15\).
Ejercicio 3. Encuentra tres fracciones equivalentes a la fracción \(1/4\).
Ejercicio 4. Simplifica la fracción \(10/20\) y luego encuentra una fracción equivalente que sea menor que \(10/20\).
Ejercicio 5. Encuentra una fracción equivalente a \(7/10\) que tenga un numerador de \(21\).
Ejercicio 6. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes o no: \(4/9\) y \(16/36\).
Ejercicio 7. Encuentra una fracción equivalente a \(3/8\) que tenga un denominador de 24.
Ejercicio 8. Simplifica la fracción \(14/28\) y luego encuentra una fracción equivalente que sea mayor que \(14/28\).
Ejercicio 9. Encuentra dos fracciones equivalentes a \(2/5\) que tengan un numerador de 6.
Ejercicio 10. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes o no: \(5/12\) y \(10/24\).
Preguntas frecuentes sobre fracciones equivalentes
¿Qué es una fracción? Una fracción es una expresión matemática que representa una parte de un todo o la relación entre dos cantidades. Se compone de dos números separados por una línea horizontal o diagonal, donde el número superior se denomina numerador y el número inferior se denomina denominador.
¿Qué es una fracción equivalente? Una fracción equivalente es aquella fracción que representa la misma cantidad o valor que otra fracción, a pesar de tener diferentes numeradores y denominadores.
¿Cuándo dos fracciones son equivalentes? Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad o valor, a pesar de tener diferentes numeradores y denominadores. Matemáticamente, dos fracciones \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) son equivalentes si se cumple que \(a\cdot d=b\cdot c\).
¿Cómo determinar si dos fracciones son equivalentes? Para determinar si dos fracciones son equivalentes, se verifica si los productos cruzados son iguales: se multiplica el numerador de una fracción por el denominador de la otra y viceversa. Si ambos productos son iguales, las fracciones son equivalentes.
¿Cómo hallar fracciones equivalentes? Para hallar fracciones equivalentes, existen varios métodos que pueden utilizarse según la conveniencia y el contexto. Uno de los métodos más comunes es el de amplificación, en el cual se multiplica tanto el numerador como el denominador de una fracción por el mismo número entero (diferente de cero). Esto produce una fracción con el mismo valor, pero con un numerador y denominador diferentes. Otro método es la simplificación, en el cual se divide tanto el numerador como el denominador de una fracción por su máximo común divisor (MCD), lo que reduce la fracción a su forma más simple.
¿Qué son las fracciones equivalentes? Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma cantidad o parte de un número entero, pero están expresadas de manera diferente. Esto significa que, aunque las fracciones pueden tener diferentes numeradores y denominadores, aun así, representan la misma cantidad. En otras palabras, las fracciones equivalentes son como diferentes formas de representar lo mismo.
¿Por qué son tan importantes las fracciones equivalentes? El concepto de fracción equivalente es indispensable para sumar o restar fracciones.