Ordenada de un punto en el plano cartesiano
En un sistema de coordenadas cartesianas, se denomina ordenada a la coordenada vertical \(y\) de un punto \(P\) de coordenadas \((x, y)\). Por ejemplo, si las coordenadas de un punto \(P\) son \((4, 7)\), entonces la ordenada del punto \(P\) es la coordenada vertical \(y=7\). De manera similar, si las coordenadas de un punto \(Q\) son \((-3, -11)\), entonces la ordenada del punto \(Q\) es la coordenada vertical \(y=-11\).
¿Qué es la ordenada al origen?
Definición: La ordenada al origen es el valor de la ordenada del punto \(P\) de coordenadas \((0, y)\), donde la recta intercepta al eje vertical \(y\). Se denomina ordenada al origen porque corresponde al valor de \(y\) cuando la coordenada \(x\) es igual a cero.
Para comprender esta definición con mayor claridad, es necesario destacar que, en el plano cartesiano, las coordenadas cartesianas \((x, y)\) de un punto \(P\) se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa por la letra \(x\), mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la letra \(y\). Por ejemplo, si las coordenadas de un punto \(R\) en el plano cartesiano son \((-4, 3)\), entonces la abscisa es la coordenada horizontal \(x=-4\) y la ordenada es la coordenada vertical \(y=3\).
Ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen
La ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen está definida como: \[y=mx+b\] En esta ecuación, \(m\) representa la pendiente de la recta y \(b\) representa la ordenada al origen.
De manera que, cuando se conoce el valor de la pendiente de la recta y el valor de la ordenada al origen \(b\), se puede hallar la ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen \[y=mx+b\]
Por ejemplo, si la pendiente de una recta es \(m=2\) y dicha recta intercepta al eje vertical \(y\) en \(y=7\), es decir, la ordenada al origen es \(b=7\), entonces se puede hallar la ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen al sustituir dichos valores en la ecuación: \[y=mx+b\] Sustituyendo estos valores, obtenemos que: \[\begin{aligned}y&=mx+b\\y&=2x+7\end{aligned}\] Por lo tanto, la ecuación de una recta cuya pendiente es \(m=2\) y que intercepta al eje vertical \(y\) en \(y=7\) es: \[y=2x+7\]
Las siguientes ecuaciones lineales representan ecuaciones de las rectas en la forma pendiente-ordenada al origen: \[\begin{aligned}y&=4x+7\\y&=3x-5\\y&=-2x+\frac{1}{2}\\y&=x+\frac{2}{3}\\y&=x\end{aligned}\]
La ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen también se le denomina ecuación ordinaria de la recta, forma simplificada de la ecuación de la recta o ecuación en la forma pendiente-intersección.
Ordenada al origen de una recta
La ordenada al origen de una recta corresponde al término independiente \(b\) en la ecuación ordinaria de la recta \(y=mx+b\) y representa el valor de la ordenada de un punto \(P\) en el que la recta intercepta al eje vertical. Dicho punto de intersección de la recta con el eje vertical se escribe como \((0, b)\).
Por ejemplo, dada la ecuación de la recta \(y=4x+7\), la ordenada al origen es \(b=7\), ya que este valor corresponde al término independiente en la ecuación. De esta manera, la recta definida por la ecuación \(y=4x+7\) intercepta al eje vertical \(y\) en el punto de coordenadas \((0, 7)\).
De manera similar, dada la ecuación de la recta \(y=-5+3x\), la ordenada al origen en este caso es \(b=-5\), puesto que -5 corresponde al término independiente en la ecuación. Por lo tanto, la recta definida por la ecuación \(y=3x-5\) intercepta al eje vertical \(y\) en el punto de coordenadas \((0, -5)\).
¿Cómo se calcula la ordenada al origen?
La ordenada al origen en la ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen \(y=mx+b\) se calcula a partir del valor de la pendiente de la recta y de las coordenadas de uno de los puntos por los que pasa la recta.
Por ejemplo, si \(m\) es la pendiente de una recta y la recta pasa por el punto \(P_1\) de coordenadas \((x_1, y_1)\), entonces, para hallar la ordenada al origen, simplemente se sustituyen estos valores en la ecuación y se resuelve la ecuación resultante para \(b\) , que representa la ordenada al origen.
Por ejemplo, si la pendiente de una recta es \(m=2\) y la recta pasa por el punto \(P\) de coordenadas \((3, 5)\), entonces la ordenada al origen se obtiene al sustituir estos valores en la ecuación \(y=mx+b\) y resolver para \(b\). Sustituyendo, obtenemos que: \[\begin{aligned}y&=mx+b\\5&=2\cdot 3+b\\5&=6+b\\5-6&=b\\-1&=b\end{aligned}\]
Por lo tanto, la ordenada al origen de una recta cuya pendiente es \(m=2\) y que pasa por el punto \(P\) de coordenadas \((3, 5)\) es igual a \(b=-1\). Es decir, la recta intercepta al eje vertical \(y\) en el punto \((0, -1)\). La siguiente imagen muestra la recta en el plano cartesiano.
¿La ordenada al origen puede ser negativa?
Sí, la ordenada al origen puede ser negativa. Si el valor de la ordenada al origen \(b\) es negativo, la recta intercepta al eje vertical \(y\) en la parte inferior, es decir, en la parte negativa del eje \(y\). En contraste, si el valor de la ordenada al origen es positivo, la recta intercepta al eje vertical en la parte superior, es decir, en la parte positiva del eje \(y\). Por otro lado, si la ordenada al origen es igual a cero, entonces la recta pasa por el origen de coordenadas \((0, 0)\) del plano cartesiano.
Preguntas frecuentes sobre la ordenada al origen
¿Qué es la ordenada al origen? La ordenada al origen es el valor \(b\) de la coordenada \(y\) de un punto \(P\) de coordenadas \((0, y)\), donde la recta intercepta al eje vertical \(y\). Se denomina ordenada al origen porque corresponde al valor de \(y\) cuando la coordenada \(x\) es igual a cero.
¿Qué es la ordenada de un punto? La ordenada de un punto \(P\) de coordenadas \((x, y)\) corresponde al valor asignado a la coordenada vertical \(y\).
¿Qué es la abscisa? La abscisa de un punto \(P\) de coordenadas \((x, y)\) corresponde al valor asignado a la coordenada horizontal \(x\).
¿La ordenada al origen es x o y? La ordenada al origen es el valor de la coordenada vertical de un punto \(P\) de coordenadas \((x, y)\). Es decir, la ordenada al origen es \(y\).