Definición de máximo común divisor
El máximo común divisor (MCD) es el valor más grande que divide exactamente a dos o más números a la vez.
Para comprender mejor esta definición, es necesario conocer el significado de los siguientes conceptos: valor máximo, valor común y divisor de un número.
¿Qué es un valor máximo?
En matemáticas, un valor máximo es el valor más grande de un conjunto de datos. Por ejemplo, considera el conjunto \(A\) definido por: \[A=\left\lbrace 1, 4, 8, 12, 3, 7\right\rbrace\] El valor máximo es el número 12, ya que es el de mayor valor comparado con el resto de los elementos del conjunto. De manera similar, considera el conjunto \(B\) definido por: \[B=\left\lbrace 4, 3, 9, 1, 5, 7\right\rbrace\] El valor máximo en este caso es el número 9, ya que es el de mayor valor comparado con el resto de los elementos que conforman el conjunto.
¿Qué es un elemento común?
En teoría de conjuntos, un elemento común es aquel o aquellos elementos que se encuentran en dos o más conjuntos a la vez. Por ejemplo, considera los conjuntos \(A\) y \(B\) definidos por: \[\begin{aligned}A&=\left\lbrace 2, 4, 6, 8\right\rbrace\\B&=\left\lbrace 1, 3, 4, 5, 7, 9\right\rbrace\end{aligned}\] Observa que en este caso solo hay un elemento en común, el número 4, ya que este es el único que aparece en ambos conjuntos. De manera similar, considera los conjuntos \(C\) y \(D\) definidos por: \[\begin{aligned}C&=\left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \right\rbrace \\D&=\left\lbrace 1, 3, 5, 7, 9\right\rbrace\end{aligned}\] En este caso, los elementos en común son los números 1, 3 y 5, ya que estos valores aparecen en ambos conjuntos a la vez.
¿Qué es el divisor de un número?
El divisor de un número es el valor que lo divide en partes exactas. Es decir, dados dos números naturales \(a\) y \(b\), si la división \(a\div b\) es exacta, es decir, el residuo es cero, entonces \(b\) es un divisor de \(a\). Por ejemplo, los divisores del número 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, ya que todos estos valores pueden dividir a 12 en partes exactas sin dejar residuo. En cambio, el número 5 no es un divisor de 12, ya que la división \(12\div 5\) no es exacta, pues esta deja un residuo de 2.
Veamos a continuación las propiedades que cumplen los divisores de un número.
Propiedades de los divisores
- Propiedad 1: Todo número natural es divisible por 1. Es decir, el número 1 es divisor de todos los números naturales.
- Propiedad 2: Los divisores de un número siempre son menores o iguales que el número dado. Por ejemplo, los divisores del 15 están entre 1 y 15. Es decir, el número de divisores de un número es finito.
- Propiedad 3: Todo número natural es divisor de sí mismo. Es decir, la división de un numero entre sí mismo siempre es exacta y da como cociente 1.
- Propiedad 4: Un número primo únicamente es divisible entre 1 y entre sí mismo.
Ejemplo de cómo calcular los divisores de un número
Ejemplo 1: Calcula los divisores del número 8.
Solución: Aplicando las propiedades de los divisores, obtenemos lo siguiente: De acuerdo con la propiedad 1, el número 1 es un divisor de 8. Según la propiedad 2, los divisores de 8 están entre 1 y 8, por lo que los números naturales mayores a 8 no son divisores de 8. De acuerdo con la propiedad 3, el número 8 es un divisor de sí mismo; por lo tanto, 8 es un divisor de 8.
Ahora, debemos verificar que los números naturales 2, 3, 4, 5, 6 y 7 sean o no divisores de 8. Para esto, realicemos las correspondientes divisiones. Estas divisiones se muestran en la siguiente imagen.
De esta manera concluimos que los divisores del 8 son el 1, 2, 4 y 8.
¿Cómo hallar el máximo común divisor?
Existen dos métodos para hallar el máximo común divisor de dos o más números. El primer método consiste en calcular todos los divisores de cada número, elegir los que sean comunes y luego seleccionar el mayor de ellos como el máximo común divisor. Por ejemplo, si quisieras calcular el máximo común divisor de los números 150 y 180 usando este método, tendrías que calcular todos los divisores de ambos números, identificar los que son comunes y seleccionar el mayor de ellos. Sin embargo, este método se vuelve muy laborioso y poco práctico cuando los números son muy grandes. Por lo tanto, el segundo método que te presentamos a continuación es el más recomendable para calcular el máximo común divisor de dos o más números.
Método efectivo para hallar el máximo común divisor de dos o más números
El mejor método para hallar el máximo común divisor (MCD) de dos o más números consiste en una serie de tres pasos:
- Paso 1. Descomponer cada número en el producto de sus respectivos factores primos (Descomposición factorial).
- Paso 2. Identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente.
- Paso 3. Multiplicar los factores elegidos.
Máximo común divisor de dos números ejercicios resueltos
Ejemplo 2. Calcula el máximo común divisor (MCD) del 150 y 180.
Solución: Para hallar el máximo común divisor (MCD) seguimos los siguientes pasos:
- Paso 1. Descomponer en factores primos los números 150 y 180.
- Paso 2. Identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente.
- Paso 3. Multiplicar los factores elegidos.
Para el primer paso, procedemos con la descomposición en factores primos de los números 150 y 180.
Ahora que conocemos los factores primos, es necesario expresar cada número como el producto de sus respectivos números primos, es decir: \[\begin{aligned}150&=2\cdot3\cdot5\cdot5\\&=2\cdot3\cdot5^2\\180&=2\cdot3\cdot3\cdot2\cdot5\\&=2^2\cdot3^2\cdot5\end{aligned}\]
El segundo paso nos pide elegir los factores comunes elevados al menor exponente; en este caso, los factores comunes son el 2, 3 y 5. De estos, elegimos los de menor exponente, es decir, 2, 3 y 5.
Para el tercer paso, simplemente debemos multiplicar los valores que elegimos, es decir: \[2\cdot3\cdot5\]
De esta manera, el máximo común divisor de 150 y 180 es: \[\begin{aligned}MCD (150, 180)&=2\cdot 3\cdot5\\&=30\end{aligned}\]
Ejemplo 3. Determina el máximo común divisor (MCD) del 12 y 8.
Solución: Para hallar el máximo común divisor (MCD), seguimos los siguientes pasos:
- Paso 1. Descomponer en factores primos los números 12 y 8.
- Paso 2. Identificar y elegir los factores comunes elevados al menor exponente.
- Paso 3. Multiplicar los factores elegidos.
Para el primer paso, procedemos con la descomposición en factores primos de los números 12 y 8.
Ahora que conocemos los factores primos, es necesario expresar cada número como el producto de sus respectivos factores primos, es decir: \[\begin{aligned}12&=2\cdot2\cdot3\\&=2^2\cdot 3\\8&=2\cdot2\cdot2\\&=2^3\end{aligned}\]
El segundo paso nos pide elegir los factores comunes elevados a la menor potencia. En este caso, el único factor común es el número 2, del cual elegimos el que está elevado a la menor potencia, es decir, \(2^2\).
Para el tercer paso, debemos multiplicar los valores que elegimos. Como solo hay un factor común, simplemente desarrollamos la potencia de este factor, es decir: \[\begin{aligned}2^2&=2\cdot2\\&=4\end{aligned}\]
De esta manera, el máximo común divisor de 12 y 8 es: \[\begin{aligned}MCD (12, 8)&=2^2\\&=4\end{aligned}\]