¿Qué es una desigualdad?
Una desigualdad es una expresión matemática que indica la relación de orden entre dos cantidades. Los signos de desigualdad son:
- “>” Mayor que
- “≥” Mayor o igual que
- “<” Menor que
- “≤” Menor o igual que
Si \(a\) y \(b\) son dos números reales, entonces estos pueden relacionarse a través de un signo de desigualdad. Por ejemplo, si \(a\) es mayor que \(b\), esta relación se escribe como: \[a>b\] Si, por otra parte, “a es menor que b”, entonces esta relación se escribe de la siguiente manera: \[a<b\] Es importante destacar que el símbolo de desigualdad siempre señala hacia el valor más pequeño y que además una desigualdad siempre se lee de izquierda a derecha.
Propiedades de las desigualdades
Las propiedades de las desigualdades son reglas que se aplican a las desigualdades matemáticas. Estas propiedades permiten manipular una desigualdad de manera válida y coherente sin cambiar la veracidad de una preposición. Se utilizan para resolver y simplificar desigualdades, así como también se utilizan para establecer relaciones de orden entre dos o más cantidades.
¿Cuáles son las propiedades de las desigualdades?
Las propiedades principales de las desigualdades incluyen la propiedad simétrica, la propiedad de la tricotomía y la propiedad transitiva. Además, existen propiedades secundarias, como la propiedad de la consistencia de la suma, la resta y la multiplicación (por un número positivo) respecto a la relación de orden. También se incluyen la propiedad de la multiplicación por un número negativo y la propiedad del recíproco. A continuación, se explica detalladamente y con ejemplos en qué consiste cada una de estas propiedades.
Propiedad simétrica
Propiedad 1. Propiedad simétrica. Si \(a\) y \(b\) son dos números reales, tales que “a es menor que b”, es decir, \[a<b\] entonces esta desigualdad puede escribirse de manera equivalente como “b es mayor que a”, es decir: \[b>a\]
La propiedad simétrica establece que, una desigualdad es verdadera en ambas direcciones. Por ejemplo, considera la desigualdad “7 es menor que 11” (7<11). Esta desigualdad puede escribirse de manera equivalente como “11 es mayor que 7” (11>7). Observa que, en ambas la preposición tiene el mismo significado (11 es más grande que 7), pero está escrita de manera distinta.
Propiedad de la tricotomía
Propiedad 2. Propiedad de la tricotomía. Si \(a\) y \(b\) son dos números reales, entonces una y solo una de las siguientes preposiciones es verdadera:
- a=b: “a es igual a b”
- a>b: “a es mayor que b”
- a<b: “a es menor que b”
La propiedad de la tricotomía establece que, para cualquier par de números reales \(a\) y \(b\), existe una única forma de relacionarlos, ya sea que estos sean iguales, que el primero sea mayor que el segundo o que el primero sea menor que el segundo. Esta propiedad garantiza que cualquier par de números reales pueda ser comparado entre sí, y que una y solo una de las tres afirmaciones posibles (a=b), (a>b) o (a < b) será cierta. Por ejemplo, considera los números reales \(a=5\) y \(b=7\). Al comparar estos números, obtenemos que:
- a=b: No es verdadero, ya que 5 no es igual a 7.
- a>b: Tampoco es verdadero, ya que 5 no es mayor que 7.
- a<b: Claramente, 5 si es menor que 7.
Entonces, en este caso, la única afirmación verdadera es que \(a\) es menor que \(b\) (a<b), ya que 5 es menor que 7.
Propiedad transitiva
Propiedad 3. Propiedad transitiva. Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, tales que, si “a es menor que b”, es decir, \(a<b\) y además “b es menor que c”, es decir, \(b<c\), entonces se cumple que: \[a<c\]
La propiedad transitiva establece que, si un número es menor que otro, y ese otro número es menor a un tercero, entonces directamente el primer número es menor al tercer número. Por ejemplo, considera las desigualdades: “2 es menor que 5” (2<5) y “5 es menor que 8” (5<8). De estas desigualdades se puede concluir directamente que “2 es menor que 8” (2<8).
Propiedad de consistencia de la suma respecto a la relación de orden
Propiedad 4. Consistencia de la suma respecto a la relación de orden. Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, y además se cumple que \(a\) es menor que \(b\), es decir, \[a<b\] entonces al sumar \(c\) en ambos miembros de la desigualdad, se cumple que: \[a+c<b+c\]
La propiedad de consistencia de la suma respecto a la relación de orden establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les suma la misma cantidad, la desigualdad se conserva. Por ejemplo, considera la desigualdad “5 es menor que 7” (5<7). Al sumar 10 a ambos miembros de la desigualdad, obtenemos: \[\begin{aligned}5&<7\\5+10&<7+10\\15&< 17\end{aligned}\]
Es decir, obtenemos la desigualdad “15 es menor que 17” (15<17). Este resultado muestra que se conserva la relación de orden inicial, ya que el primer miembro sigue siendo menor que el segundo miembro.
Propiedad de consistencia de la resta respecto a la relación de orden
Propiedad 5. Consistencia de la resta respecto a la relación de orden. Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, y además se cumple que \(a\) es menor que \(b\), es decir, \[a<b\], entonces al restar \(c\) en ambos miembros de la desigualdad, se cumple que: \[a-c<b-c\]
La propiedad de consistencia de la resta respecto a la relación de orden establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva. Por ejemplo, considera la desigualdad “3 es menor que 9”. Al restar 3 a ambos miembros de la desigualdad, obtenemos: \[\begin{aligned}3&<9\\3-3&<9-3\\0&<6\end{aligned}\]
Es decir, obtenemos la desigualdad “0 es menor que 6” (0<6). Este resultado muestra que se conserva la relación de orden inicial, ya que, al restar el mismo número en ambos miembros, el primer miembro de la desigualdad sigue siendo menor que el segundo miembro.
Propiedad de consistencia del producto con respecto a la relación de orden
Propiedad 6. Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y \(c\) es mayor que cero, y además se cumple que \(a\) es menor que \(b\), es decir, \[a<b\], entonces al multiplicar ambos miembros de la desigualdad por \(c\), se cumple que: \[a\cdot c<b\cdot c\]
Esta propiedad establece que, si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por una misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva. Por ejemplo, considera la desigualdad “4 es menor que 5” (4<5). Al multiplicar por 3 ambos miembros de la desigualdad, obtenemos: \[\begin{aligned}4&<5\\4\cdot 3&<5\cdot 3\\12&< 15\end{aligned}\]
Es decir, se obtiene la desigualdad “12 es menor que 15” (12<15). Este resultado muestra que la relación de orden inicial se conserva, ya que, al multiplicar ambos miembros de la desigualdad por un número positivo, el primer miembro sigue siendo menor que el segundo miembro de la desigualdad.
Propiedad de la multiplicación por un número negativo
Propiedad 7. Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y \(c\) es menor que cero, y además se cumple que \(a\) es menor que \(b\), es decir, \[a<b\] entonces al multiplicar ambos miembros de la desigualdad por un número negativo \(c\), se cumple que: \[a\cdot c>b\cdot c\]
Esta propiedad establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica por una misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte. Por ejemplo, considera la desigualdad “2 es menor que 9” (2<9). Al multiplicar ambos miembros de la desigualdad por el número negativo -1, obtenemos: \[\begin{aligned}2&< 9\\2\cdot -1&<9\cdot -1\\-2&<-9\end{aligned}\]
Como “-2 no es menor que -9”, sino todo lo contrario (“-2 es mayor que -9”), entonces el sentido de la desigualdad inicial debe cambiar. Es decir, al multiplicar ambos miembros de la desigualdad por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, quedando así que: \[\begin{aligned}2&<9\\2\cdot -1&<9\cdot -1\\-2&>-9\end{aligned}\]
Propiedad del recíproco
Propiedad 8. Propiedad del recíproco. Si \(a\) y \(b\) son dos números reales con el mismo signo y distintos de cero, y además se cumple que “a es menor que b”, es decir, \[a<b\] entonces al calcular el recíproco en ambos miembros de la desigualdad, se cumple que: \[a^{-1} > b^{-1}\]
La propiedad del recíproco establece que, si se calcula el recíproco en ambos miembros de una desigualdad, la desigualdad se invierte. Por ejemplo, considera la desigualdad “6 es menor que 10” (6<10). Al calcular el recíproco de cada miembro de la desigualdad obtenemos: \[\begin{aligned}6&<10\\6^{-1}&<10^{-1}\\\frac{1}{6}&<\frac{1}{10}\end{aligned}\]
Como \(\frac{1}{6}\) no es menor que \(\frac{1}{10}\), sino todo lo contrario (\(\frac{1}{6}\) es mayor que \(\frac{1}{10}\)), entonces el sentido de la desigualdad inicial debe cambiar. Es decir, al calcular el recíproco en ambos miembros de la desigualdad, la dirección de la desigualdad se invierte, quedando así que: \[\begin{aligned}6&<10\\6^{-1}&>10^{-1}\\\frac{1}{6}&>\frac{1}{10}\end{aligned}\]
Todas estas propiedades se han escrito para el caso en el que se tiene una desigualdad de la forma “a es menor que b” (a<b), sin embargo, cada una de estas propiedades es válida para los casos en los que “a es menor o igual a b” (a≤b), “a es mayor que b” (a>b) y “a es mayor o igual que b” (a≥b). La siguiente imagen muestra las propiedades de las desigualdades para todos estos casos.