Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas en su forma estándar es:
En esta fórmula, \(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes de la ecuación cuadrática en su forma estándar definida por:
La expresión \(b^2-4ac\) en la fórmula general recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática dependen del valor de este discriminante, de tal manera que:
- Si \(b^2-4ac>0\), la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.
- Si \(b^2-4ac=0\), la ecuación cuadrática tiene una solución real.
- Si \(b^2-4ac<0\), la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas.
Forma estándar de una ecuación cuadrática
La forma estándar de una ecuación cuadrática es: \[ax^2+bx+c=0\] En esta ecuación, \(a\), \(b\) y \(c\) son valores constantes, y \(a\) es diferente de cero. Además, \(x\) representa la o las incógnitas de la ecuación cuadrática. Para aplicar la fórmula general, es necesario que la ecuación cuadrática esté en su forma estándar. Esto asegura evitar confusiones al sustituir los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) en la fórmula general.
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas ejemplos
Ejemplo 1. Resolver la siguiente ecuación cuadrática aplicando la fórmula general. \[3x+2x^2+5=7\]
Solución. Para aplicar la fórmula general primero debes recordar que esta fórmula se aplica a ecuaciones cuadráticas en su forma estándar, es decir, se aplica a ecuaciones cuya estructura es: \[ax^2+bx+c=0\] Observa que la ecuación del enunciado no está en su forma estándar, por lo que primero debemos expresar esta ecuación cuadrática a su forma estándar. Para esto simplemente debemos igualar a cero la ecuación, y simplificar y ordenar los términos iniciando con el exponente de mayor grado hasta el exponente de menor grado de la incógnita. Este procedimiento se muestra a continuación:
Ahora que la ecuación está en su forma estándar podemos aplicar la fórmula general para hallar la o las soluciones. Con la ecuación cuadrática en su forma estándar obtenemos que: \(a=2\), \(b=3\) y \(c=-2\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general obtenemos:
Como el discriminante es mayor a cero (en este caso es 25), entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{-3+\sqrt{25}}{4}\\&=\frac{-3+5}{4}\\&=\frac{2}{4}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{-3-\sqrt{25}}{4}\\&=\frac{-3-5}{4}\\&=\frac{-8}{4}\\&=-2\end{aligned}\] De tal manera que las soluciones de la ecuación cuadrática son \(x_{1}=\frac{1}{2}\) y \(x_{2}=-2\).
Ejemplo 2. Utilizar la fórmula general para hallar la solución o soluciones de la siguiente ecuación cuadrática. \[x^2–2x=6x–16\] Solución. Observa que la ecuación dada no está en su forma estándar, por lo que primero debemos expresar esta ecuación cuadrática a su forma estándar. Este procedimiento se muestra a continuación:
Ahora que la ecuación cuadrática está en su forma estándar podemos aplicar la fórmula general para hallar la o las soluciones. Con la ecuación cuadrática en su forma estándar obtenemos que: \(a=1\), \(b=-8\) y \(c=16\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general obtenemos:
Como el discriminante es igual a cero entonces la ecuación cuadrática tiene una única solución: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{8+\sqrt{0}}{4}\\&=\frac{8+0}{2}\\&=\frac{8}{2}\\&=4\end{aligned}\] De esta manera concluimos que la ecuación cuadrática tiene como una única solución \(x=4\).
Ejemplo 3. Aplicar la fórmula general para hallar la solución de la ecuación cuadrática definida como: \[3x^2+2x+1=0\] Solución. Observa que la ecuación cuadrática está en su forma estándar por lo que simplemente debemos identificar los valores de \(a\), \(b\) y \(c\). En este caso se tiene que \(a=3\), \(b=2\) y \(c=1\). Ahora simplemente debemos sustituir estos valores en la fórmula general para hallar la solución o soluciones de la ecuación cuadrática. Entonces:
Como el discriminante es menor a cero entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas, esto debido a que la raíz cuadrada de un número negativo no está definido en el campo de los números reales. Para hallar las soluciones complejas debemos tomar en cuenta la unidad imaginaria \(i\) definida como: \[i^2=-1\] De modo que si tenemos la raíz cuadrada de un número negativo \(-r\), podemos calcular la raíz aplicando la unidad imaginaria de la siguiente manera: \[\begin{aligned}\sqrt{-r}&=\sqrt{i^2\cdot r}\\&=\sqrt{i^2}\cdot\sqrt{r}\\&=i\sqrt{r}\end{aligned}\] Aplicando la unidad imaginaria para obtener la raíz cuadrada de un número negativo obtenemos: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{-2+\sqrt{-8}}{6}\\&=\frac{-2+i\sqrt{8}}{6}\\&=\frac{-2+i2\sqrt{2}}{6}\\&=\frac{-2}{6}+\frac{i2\sqrt{2}}{6}\\&=-\frac{1}{3}+\frac{i\sqrt{2}}{3}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{-2-\sqrt{-8}}{6}\\&=\frac{-2-i\sqrt{8}}{6}\\&=\frac{-2-i2\sqrt{2}}{6}\\&=\frac{-2}{6}-\frac{i2\sqrt{2}}{6}\\&=-\frac{1}{3}-\frac{i\sqrt{2}}{3}\end{aligned}\] Concluimos que las soluciones a la ecuación cuadrática son los números complejos \(x_{1}=-\frac{1}{3}+\frac{i\sqrt{2}}{3}\) y \(x_{2}=-\frac{1}{3}-\frac{i\sqrt{2}}{3}\).
Ejemplo 4. Usar la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática \[x^2-x-6=0\] Solución. Observa que la ecuación cuadrática está en su forma estándar, es decir, está en la forma: \[ax^2+bx+c=0\] Ahora simplemente debemos identificar los valores de \(a\), \(b\) y \(c\). En este caso \(a=1\), \(b=-1\) y \(c=-6\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general obtenemos:
Como el discriminante es mayor a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones de valor real: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{1+\sqrt{25}}{2}\\&=\frac{1+5}{2}\\&=\frac{6}{2}\\&=3\end{aligned}\] \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{1-\sqrt{25}}{2}\\&=\frac{1-5}{2}\\&=\frac{-4}{2}\\&=-2\end{aligned}\] De esta manera encontramos que las soluciones a la ecuación cuadrática son \(x_{1}=3\) y \(x_{2}=-2\).
Ejemplo 5. Resolver la siguiente ecuación cuadrática \[x^2-4x+2=0\]
Solución. Para hallar el o los valores de \(x\) que satisfacen la ecuación simplemente debemos aplicar la fórmula general: \[x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] Observa que la ecuación cuadrática dada está en su forma estándar, es decir, está en la forma: \[ax^2+bx+c=0\] Por lo tanto, \(a=1\), \(b=-4\) y \(c=2\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general obtenemos:
Como el discriminante es mayor a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{4+\sqrt{8}}{2}\\&=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{4}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}\\&=2+\sqrt{2}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{4-\sqrt{8}}{2}\\&=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{4}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}\\&=2-\sqrt{2}\end{aligned}\] Concluimos que las soluciones a la ecuación cuadrática son \(x_{1}=2+\sqrt{2}\) y \(x_{2}=2-\sqrt{2}\).
¿Por qué utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?
La fórmula general se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma: \[ax^2+bx+c=0\] donde \(a\), \(b\) y \(c\) son coeficientes reales y \(a\) es distinto de cero. La fórmula general para resolver esta ecuación es: \[x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] Hay varias razones por las cuales la fórmula general es una herramienta valiosa para resolver ecuaciones cuadráticas, entre las cuales destacan:
- Versatilidad: La fórmula general es aplicable a cualquier ecuación cuadrática, independientemente de los valores específicos de \(a\), \(b\) y \(c\).
- Entendimiento conceptual: Al utilizar la fórmula general, puedes obtener una comprensión más profunda de cómo los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) afectan las soluciones de la ecuación. Puedes analizar cómo los términos en la fórmula afectan la posición de las raíces en el plano complejo.
Sin embargo, es importante destacar que mientras que la fórmula general es poderosa y versátil, en la práctica no siempre es la forma más eficiente de emplear, pero si es la "vieja confiable" para resolver ecuaciones cuadráticas. Para ecuaciones con coeficientes numéricos concretos, métodos como la factorización y el método de completar el cuadrado pueden ser más rápidos y simples. Estos métodos pueden aprovechar patrones específicos en los coeficientes para obtener las soluciones de manera más directa. En el ejemplo 6 y 7 resolveremos la misma ecuación cuadrática aplicando dos métodos distintos, el de la fórmula general y el de factorización.
Ejercicio 6. Resolver la ecuación cuadrática aplicando la fórmula general. \[x^2-5x+6=0\] Solución. Para hallar el o los valores de \(x\) que satisfacen la ecuación aplicaremos directamente la fórmula general ya que esta nos permite encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Como la ecuación está en su forma general simplemente debemos identificar los valores de \(a\), \(b\) y \(c\). En este caso \(a=1\), \(b=-5\) y \(c=6\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general obtenemos:
Como el discriminante es mayor a cero entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones de valor real. \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{5+\sqrt{1}}{2}\\&=\frac{5+1}{2}\\&=\frac{6}{2}\\&=3\end{aligned}\] \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{5-\sqrt{1}}{2}\\&=\frac{5-1}{2}\\&=\frac{4}{2}\\&=2\end{aligned}\] De esta manera encontramos que las soluciones de la ecuación cuadrática son \(x_{1}=3\) y \(x_{2}=2\).
Como podrás observar hemos obtenido las soluciones de la ecuación cuadrática aplicando la fórmula general, sin embargo, también podemos hallar las soluciones a través del método de factorización. El método de factorización se basa en descomponer la ecuación cuadrática en dos factores que, al igualarse a cero, proporcionan las soluciones de la ecuación.
Ejemplo 7. Aplicar el método de factorización para hallar las soluciones de la ecuación cuadrática del ejemplo 6 definida por: \[x^2-5x+6=0\] Solución: Primero debemos identificar dos números que multiplicados den como resultado el valor de \(c\) y cuya suma sea igual al valor de \(b\). En este caso los números buscados son el \(-2\) y el \(-3\), ya que \((-2)\cdot(-3)=6\) y \(-2+(-3)=-5\).
Ahora, podemos usar estos números para factorizar la ecuación: \[\begin{aligned}x^2-5x+6&=0\\(x - 2)(x - 3)&=0\end{aligned}\] Ahora que hemos factorizado la ecuación, podemos igualar a cero cada factor y resolver para \(x\): \[\begin{aligned} x-2&=0\\x-3&=0\end{aligned}\] Resolvemos cada una de estas ecuaciones lineales: \[\begin{aligned}x-2&=0\\x&=2\\x-3&=0\\x&=3\end{aligned}\] Entonces, las soluciones de la ecuación cuadrática \(x^2-5x+6=0\) son \(x = 2\) y \(x = 3\).
Como podrás observar al aplicar dos métodos distintos se obtienen los mismos resultados. El poder de la fórmula general radica en que se puede aplicar para resolver cualquier ecuación cuadrática en su forma general, esto es una gran ventaja comparado con el método de factorización en el que se buscan dos números que multiplicados den un término y sumados den otro, ya que por lo general estos números no son tan fáciles de encontrar. Así que la fórmula general es y seguirá siendo la “vieja confiable” para hallar la solución a una ecuación cuadrática.
Ecuaciones cuadráticas por la fórmula general ejercicios resueltos
Ejemplo 8. Aplicando la fórmula general resolver la siguiente ecuación cuadrática: \[x^2+4x=5\]
Solución: Antes de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula general, es necesario estar seguros de que la ecuación cuadrática está en su forma estándar. Si no, podríamos confundir los valores que le corresponden a \(a\), \(b\) y \(c\), y por lo tanto la fórmula general nos dará soluciones incorrectas de la ecuación. Entonces, primero observa que la ecuación dada no está en su forma estándar, es decir, no está en la forma \[ax^2+bx+c=0\] Por lo que primero debemos expresar a la ecuación cuadrática en su forma estándar. Recuerda que, para convertir cualquier ecuación cuadrática a su forma estándar, simplemente se debe igualar a cero la ecuación, simplificar términos y ordenar los términos iniciando con el exponente de mayor grado hasta el exponente de menor grado de la incógnita. Este procedimiento se muestra a continuación. \[\begin{aligned}x^2+4x&=5\\x^2+4x-5&=0\end{aligned}\] Ahora que la ecuación cuadrática está en su forma estándar procedemos a identificar los valores de \(a\), \(b\) y \(c\). En este caso \(a=1\), \(b=4\) y \(c=-5\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general se obtiene:
Como el discriminante es mayor a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones de valor real. La primera solución se obtiene tomando la raíz cuadrada con signo positivo y la segunda tomando la raíz cuadrada con signo negativo, es decir: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{-4+\sqrt{36}}{2}\\&=\frac{-4+6}{2}\\&=\frac{2}{2}\\&=1\end{aligned}\] \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{-4-\sqrt{36}}{2}\\&=\frac{-4-6}{2}\\&=\frac{-10}{2}\\&=-5\end{aligned}\] Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son \(x_{1}=1\) y \(x_{2}=-5\).
Ejemplo 9: Demostrar que la siguiente ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas. \[x^2-4x+10=0\]
Demostración: Para demostrar que la ecuación tiene dos soluciones de valor complejo, simplemente debemos calcular el valor del discriminante. De acuerdo con los criterios del discriminante, si es menor a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones de valor complejo. Recuerda que el discriminante es la expresión que está bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula general, es decir: \[b^2-4ac\] Para poder hallar este valor, la ecuación cuadrática debe estar en su forma estándar. Esto es necesario para asignar de manera correcta los valores de \(a\), \(b\) y \(c\). Dado que la ecuación cuadrática dada ya está en su forma estándar, entonces podemos establecer que \(a=1\), \(b=-4\) y \(c=10\). Sustituyendo estos valores en la expresión del discriminante, obtenemos:
Como \(-24\) es menor que cero, podemos concluir que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones de valor complejo.
Ejemplo 10. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando la fórmula general. \[x^2−10x+25=0\]
Solución: La fórmula general es \[x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] Los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) corresponden a los valores en la ecuación cuadrática en su forma estándar: \[ax^2+bx+c=0\] Por lo tanto, de acuerdo con la ecuación dada obtenemos que \(a=1\) \(b=-10\) y \(c=25\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general obtenemos:
Como el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene una única solución: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{10+\sqrt{0}}{2}\\&=\frac{10+0}{2}\\&=\frac{10}{2}\\&=5\end{aligned}\] Por lo tanto, concluimos que la ecuación cuadrática tiene como una única solución \(x=5\).
Ejemplo 11. Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática \[2x^2-7x+3=0\] Solución: Para aplicar la fórmula debemos identificar los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) de la ecuación cuadrática en su forma estándar. En este caso la ecuación ya está en su forma estándar por lo que fácilmente se obtiene que \(a=2\), \(b=-7\) y \(c=3\). Sustituyendo estos valores en la fórmula general obtenemos:
Como el discriminante es mayor a cero (en este caso es 25), entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones de valor real, es decir: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{7+\sqrt{25}}{4}\\&=\frac{7+5}{4}\\&=\frac{12}{4}\\&=3\end{aligned}\] \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{7-\sqrt{25}}{4}\\&=\frac{7-5}{4}\\&=\frac{2}{4}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}\] De tal manera que las soluciones de la ecuación cuadrática \(2x^2-7x+3=0\) son \(x_{1}=3\) y \(x_{2}=\frac{1}{2}\)
¿Hay alguna forma de comprobar que los valores de \(x\) encontrados con la fórmula general son correctos? Si. En este caso como la ecuación cuadrática tuvo dos soluciones, primero debemos tomar una, sustituirla en la ecuación y verificar que se cumpla la igualdad. Para \(x_{1}=3\) obtenemos:
Ahora para \(x_{2}=\frac{1}{2}\) obtenemos:
Como ambas soluciones verifican que \(0=0\) entonces ambas soluciones encontradas son correctas y son soluciones de la ecuación.
Fórmula general ejercicios para practicar
Ejercicio 1. Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática utilizando la fórmula general: \[3x^2-7x+2=0\]
Ejercicio 2. Ejercicio de discriminante: Determina el valor del discriminante (\(b^2-4ac\)) para la siguiente ecuación de segundo grado. Luego, utiliza la fórmula general para encontrar las raíces. \[2x^2+5x-3=0\]
Ejercicio 3. Ejercicio de factores cuadrados: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática utilizando la fórmula general y comprueba si tiene soluciones repetidas. Explica tu respuesta. \[x^2-10x+25=0\]
Ejercicio 4. Ejercicio con coeficientes fraccionarios: Resuelve la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general. Asegúrate de simplificar las fracciones en las soluciones si es posible. \[2x^2 - \frac{5}{2}x - 3 = 0\]
Ejercicio 5. Ejercicio de aplicación práctica: Un objeto lanzado verticalmente desde el suelo sigue la ecuación de movimiento \(h(t) = -5t^2 + 20t + 10\), donde \(h(t)\) es la altura en metros y \(t\) es el tiempo en segundos. Encuentra el tiempo en el que el objeto toca el suelo (altura \(h(t) = 0\)) utilizando la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática.