El producto punto es una operación matemática que se utiliza para calcular la relación entre dos vectores en un espacio vectorial. Esta operación nos permite obtener información relevante sobre la geometría y la relación entre los vectores involucrados. En esta entrada, conocerás las fórmulas para calcular el producto punto, las propiedades que esta operación cumple, así como las respectivas demostraciones de cada propiedad.

Producto punto o producto escalar

Producto punto de dos vectores

El producto punto de dos vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) se denota por: \[\vec{A}\cdot\vec{B}\] Se lee: \(\vec{A}\) punto \(\vec{B}\), y se define como el producto de las magnitudes del vector \(\vec{A}\) con el vector \(\vec{B}\) y el coseno del ángulo \(\theta\) entre ellos, es decir:

\[\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos{\theta}\]

La magnitud de un vector \(\vec{A}\) definido como: \[\vec{A}=(A_1, A_2, A_3)\] se representa como \(A\) y se obtiene a partir de la siguiente expresión: \[\begin{aligned}A&=|\vec{A}|\\&=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\end{aligned}\]

El valor del ángulo \(\theta\) corresponde al ángulo más pequeño entre los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), por lo que: \[0\leq\theta\leq\pi\]

El producto punto de vectores da como resultado un escalar, es decir, una cantidad con magnitud pero sin dirección. Por esta razón, al producto punto también se le denomina producto escalar. También se le puede llamar producto interno o producto interior, siendo todas estas denominaciones equivalentes.

Propiedades del producto punto de vectores

Sean \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) y \(\vec{C}\) vectores y \(m\) un escalar, el producto punto cumple las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa del producto punto

Propiedad conmutativa del producto punto de vectores:

\[\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}\]

Esta propiedad establece que el producto punto es conmutativo, es decir, no importa el orden en el que se realice el producto punto, el resultado siempre será el mismo.

Propiedad distributiva del producto punto

Propiedad distributiva del producto punto de vectores:

\[\vec{A}\cdot\left(\vec{B}+\vec{C}\right)=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{B}\]

Esta propiedad establece que el producto punto es distributivo, es decir, el producto punto de un vector con una suma de vectores es igual a la suma de los productos punto de ese vector con cada uno de los sumandos.

Propiedad escalar del producto punto

Propiedad escalar del producto punto de vectores:

\[\begin{aligned}m\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right)&=\left(m\vec{A}\right)\cdot\vec{B}\\&=\vec{A}\cdot\left(m\vec{B}\right)\\&=\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right)m\end{aligned}\]

Producto punto de vectores unitarios

Propiedad del producto punto de vectores unitarios:

\[\begin{aligned}\hat{i}\cdot\hat{i}&=1\\\hat{j}\cdot\hat{j}&=1\\\hat{k}\cdot\hat{k}&=1\\\hat{i}\cdot\hat{j}&=0\\\hat{j}\cdot\hat{k}&=0\\\hat{k}\cdot\hat{i}&=0\end{aligned}\]

Esta propiedad establece que el producto punto de vectores unitarios iguales es igual a la unidad, mientras que el producto punto de vectores unitarios diferentes es igual a cero.

Producto punto de vectores perpendiculares

Propiedad del producto punto de vectores perpendiculares: Si \(\vec{A}\cdot\vec{B}=0\), y \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) no son vectores nulos, entonces \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) son vectores perpendiculares. Esta propiedad establece que el producto punto de dos vectores perpendiculares es igual a cero. A los vectores que son perpendiculares entre sí también se les denomina vectores ortogonales.

Producto punto de vectores usando sus componentes

Existe una fórmula sencilla para calcular el producto punto de dos vectores utilizando los vectores unitarios \(\hat{i}\), \(\hat{j}\) y \(\hat{k}\). Si los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) se expresan como:

\[\begin{aligned}\vec{A}&=\left(A_{1}\vec{i}+A_{2}\vec{j}+A_{3}\vec{k}\right)\\\vec{B}&=\left(B_{1}\vec{i}+B_{2}\vec{j}+B_{3}\vec{k}\right)\end{aligned}\]

Entonces, el producto punto se define de la siguiente manera:

\[\vec{A}\cdot\vec{B}=A_{1}B_{1}+ A_{2}B_{2}+ A_{3}B_{3}\]

Ahora bien, si los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) están en dos dimensiones, es decir, se expresan como: \[\begin{aligned}\vec{A}&=\left(A_{1}\vec{i}+A_{2}\vec{j}\right)\\\vec{B}&=\left(B_{1}\vec{i}+B_{2}\vec{j}\right)\end{aligned}\] Entonces, el producto escalar se define de la siguiente manera:

\[\vec{A}\cdot\vec{B}=A_{1}B_{1}+ A_{2}B_{2}\]

Producto punto ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Calcular el producto punto de los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), cuyas magnitudes son 3 y 6, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de 45°.

Solución: De acuerdo con la información que nos presenta el enunciado, simplemente debemos sustituir estos valores en la fórmula para hallar el producto punto, es decir: \[\begin{aligned}\vec{A}\cdot\vec{B}&=AB\cos{\theta}\\&=(3)(6)\cos{45°}\\&=(18)(0.7071)\\&=12.7279\end{aligned}\]

Ejercicio 2. Calcular el producto punto de los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) definidos como: \[\begin{aligned}\vec{A}&=4\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}\\\vec{B}&=5\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}\end{aligned}\] Solución: Observa que los vectores están expresados en términos de sus componentes vectoriales unitarios, por lo tanto, podemos calcular el producto punto de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\vec{A}\cdot\vec{B}&=\left(4\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}\right)\cdot\left(5\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}\right)\\&=(4)(5)+(2)(-1)+(-3)(-2)\\&=20-2+6\\&=24\end{aligned}\]

Ejercicio 3. Hallar el ángulo entre los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) definidos como: \[\begin{aligned}\vec{A}&=2\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}\\\vec{B}&=7\vec{i}+24\vec{k}\end{aligned}\] Solución: De acuerdo con la fórmula para hallar el producto punto de dos vectores, \(A\) corresponde a la longitud del vector \(\vec{A}\), \(B\) corresponde a la longitud del vector \(\vec{B}\) y \(\theta\) corresponde al ángulo entre estos vectores, es decir: \[\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos{\theta}\] De esta fórmula despejamos \(\theta\) :

\[\begin{aligned}\vec{A}\cdot\vec{B}&=AB\cos{\theta}\\\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{AB}&=\cos{\theta}\\\theta&=\arccos{\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{AB}\right)}\end{aligned}\]

Observa que, para hallar el valor del ángulo necesitamos el producto punto de los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), es decir:

\[\begin{aligned}\vec{A}\cdot\vec{B}&=\left(2\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}\right)\cdot\left(7\vec{i}+24\vec{k}\right)\\&=(2)(7)+(2)(0)+(-1)(24)\\&=14+0-24\\&=-10\end{aligned}\]

Además, necesitamos el producto de sus magnitudes, por lo tanto debemos calcular la longitud de cada vector:

\[\begin{aligned}A&=|\vec{A}|\\&=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}\\&=\sqrt{4+4+1}\\&=\sqrt{9}\\&=3\end{aligned}\] \[\begin{aligned}B&=|\vec{B}|\\&=\sqrt{7^2+0^2+24^2}\\&=\sqrt{49+0+576}\\&=\sqrt{625}\\&=25\end{aligned}\]

Ahora que conocemos lo necesario, simplemente debemos sustituir los valores en la expresión que nos dará el valor del ángulo, es decir:

\[\begin{aligned}\theta&=\arccos{\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{AB}\right)}\\&=\arccos{\left(\frac{-10}{(3)(25)}\right)}\\&=\arccos{\left(\frac{-10}{75}\right)}\\&=\arccos{\left(\frac{-2}{15}\right)}\\&\approx{98°}\end{aligned}\]

Por lo tanto, concluimos que el ángulo entre los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) es de aproximadamente 98°.

Ejercicio 4. Determine si los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) son ortogonales. \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) están definidos como: \[\begin{aligned}\vec{A}&=1\vec{i}+0\vec{j}+5\vec{k}\\\vec{B}&=10\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}\end{aligned}\] Solución: De acuerdo con la propiedad 5 de las propiedades del producto punto, dos vectores son ortogonales si ambos son diferentes del vector nulo y si su producto punto es igual a cero. En este caso los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) son diferentes al vector nulo, por lo que únicamente debemos calcular su producto punto.

\[\begin{aligned}\vec{A}\cdot\vec{B}&=\left(1\vec{i}+0\vec{j}+5\vec{k}\right)\cdot\left(10\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}\right)\\&=(1)(10)+(0)(3)+(5)(-2)\\&=10+0-10\\&=0\end{aligned}\]

Como el producto punto es igual a cero, entonces los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) son ortogonales.