¿Qué es el porcentaje?
El porcentaje es una forma común de expresar una cantidad como una fracción de 100. El símbolo para representar un porcentaje es el signo de porcentaje: \(\%\)
Historia del porcentaje
El concepto de porcentaje se remonta a la antigua China y la India, donde se utilizaba una tabla de proporciones para calcular los impuestos y los tributos. Fue en Europa donde se desarrolló el sistema decimal moderno, que es la base de la representación actual del porcentaje.
¿Cómo calcular porcentajes?
Para calcular un porcentaje, se divide la cantidad que se desea expresar como un porcentaje entre el valor total y esta división se multiplica por 100. La siguiente imagen presenta la fórmula general para calcular el porcentaje.
Fórmula para calcular el porcentaje
Ejemplos de cómo calcular un porcentaje
Solución: Para calcular el porcentaje que representa 9 de un total de 70, aplicamos directamente la fórmula del porcentaje. La cantidad que se desea expresar como porcentaje es 9, y el valor total es 70. Por lo tanto, sustituyendo estos valores obtenemos: \[\frac{9}{70}\cdot 100=12.85\%\] Por lo tanto, 9 es el 12.85% de 70.
Solución: Para calcular el porcentaje que representan $25 de un total de $100, simplemente aplicamos la fórmula para calcular el porcentaje. La cantidad que se desea expresar como porcentaje es 25, y el valor total es 100. Por lo tanto, sustituyendo estos valores obtenemos: \[\frac{25}{100}\cdot 100=25\%\] Por lo tanto, $25 son el 25% de $100.
Solución: La cantidad que se desea expresar como porcentaje es 20, y el valor total es 30. Por lo tanto, el porcentaje de mujeres en el salón de clases es: \[\frac{20}{30}\cdot 100=66.66\%\] Por lo tanto, el 66.66% de un total de 30 estudiantes son mujeres. En otras palabras, 20 es el 66.66% de 30.
Analizando la fórmula para hallar el porcentaje
La fórmula principal nos dice que: Para calcular un porcentaje, se divide la cantidad que se desea expresar como porcentaje entre el valor total y esta división se multiplica por 100, es decir: \[\frac{valor}{total}\cdot 100=porcentaje\] Esta fórmula se interpreta como: El valor es el porcentaje del total. Por ejemplo;
- 6 es el 7.5% de 80.
- 100 es el 10% de 1000.
- 8 es el 1.6% de 500.
Como podrás darte cuenta, la fórmula anterior se puede aplicar de manera directa para resolver problemas como los siguientes:
- ¿Qué porcentaje representa 9 de un total de 70?
- ¿Qué porcentaje representa 25 de un total de 100?
Luego de realizar los cálculos aplicando la fórmula anterior el resultado lo podemos leer como:
- 9 es el 12.85% de 70.
- 25 es el 25% de 100.
NOTA IMPORTANTE. Observa que, la fórmula para calcular el porcentaje involucra 4 cantidades, una de ellas es constante (el 100), las otras 3 pueden ser variables dependientes o independientes.
Esto es importante debido a que, dependiendo del contexto del problema que estés resolviendo, podrás plantear la información en la fórmula principal y despejar la cantidad que deseas conocer. Así que, no es necesario que aprendas de memoria distintas fórmulas para diferentes situaciones, simplemente debes aprender la fórmula principal, sustituir, y despejar si es necesario. A continuación, te muestro diversos ejemplos aplicados a diferentes situaciones en las que se involucra el porcentaje.
Valor del porcentaje desconocido
En ocasiones se presentan problemas en los que necesitamos calcular el valor numérico del porcentaje conociendo el valor total. Por ejemplo:
- ¿Cuál es el 9% de $800?
- Si una tienda ofrece un descuento del 10% en todas las compras, ¿cuánto pagarías por un artículo que originalmente cuesta $120?
Solución: Sea \(x\) el 9% de $800, es decir: \[\frac{x}{$800}\cdot 100=9\%\] Despejando \(x\), obtenemos que: \[\begin{aligned}\frac{x}{$800}\cdot 100&=9\%\\ \frac{x}{$800}&=\frac{9\%}{100}\\ x&=\frac{9}{100}\cdot 800\\x&=72\end{aligned}\] Es decir, el 9% de $800 son $72.
Solución: Para saber cuánto hay que pagar por un artículo de $120 con un descuento del 10%, lo primero que hay que hacer es hallar el valor en pesos del descuento, es decir, hallar el 10% de los $120. Sea \(x\) el 10% de 120, es decir: \[\frac{x}{$120}\cdot 100=10\%\] Despejando \(x\), obtenemos que: \[\begin{aligned}\frac{x}{$120}\cdot 100&=10\%\\ \frac{x}{$120}&=\frac{10\%}{100}\\ x&=\frac{10}{100}\cdot 120\\x&=12\end{aligned}\] Es decir, el 10% de $120 son $12. Ahora que sabemos esto, simplemente debemos restarlo al precio original para hallar lo que hay que pagar. \[$120-$12=$108\]
Valor del porcentaje conocido y valor total desconocido
En ocasiones se presentan problemas en los que se conoce el valor numérico del porcentaje y se nos pide hallar el valor total desconocido. Por ejemplo:
- Si se sabe que el 26% de una cantidad es igual a 6674, ¿cuál es el valor de la cantidad total?
- Si el precio de una prenda con un descuento del 5% es de $670, ¿cuál es el precio original de la prenda?
Solución: Sea \(x\) la cantidad total, tal que 6674 es el 26% de \(x\), es decir: \[\frac{6674}{x}\cdot 100=26\%\] Despejando \(x\), obtenemos que: \[\begin{aligned}\frac{6674}{x}\cdot 100&=26\%\\ \frac{6674}{26}\cdot 100&=x\\ x&=\frac{6674}{26}\cdot 100\\x&=25669.2\end{aligned}\]Es decir, 6674 es el 26% de 25669.2.
Solución: Sea \(x\) la cantidad total, tal que $670 es el 5% de \(x\), es decir: \[\frac{$670}{x}\cdot 100=5\%\] Despejando \(x\), obtenemos que: \[\begin{aligned}\frac{$670}{x}\cdot 100&=5\%\\ \frac{670}{5}\cdot 100&=x\\ x&=\frac{670}{5}\cdot 100\\x&=13400\end{aligned}\] Es decir, $670 es el 5% de $13400.
Porcentajes especiales
Los porcentajes especiales son aquellos que se obtienen de manera directa al dividir cierta cantidad. Ver los siguientes ejemplos.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calcular el porcentaje de un número? Para calcular el porcentaje de un número, multiplica el número por el porcentaje deseado y divide el resultado entre 100.
¿Cómo calcular el aumento porcentual? Calcula la diferencia entre el valor final y el valor inicial. Divide esa diferencia entre el valor inicial y multiplica por 100 para obtener el aumento porcentual.
¿Cómo calcular el descuento porcentual? Resta el valor del descuento al valor original. Divide esa cantidad entre el valor original y multiplica por 100 para obtener el descuento porcentual.
¿Cómo calcular el porcentaje de cambio? Resta el valor anterior del valor actual. Divide esa diferencia entre el valor anterior y multiplica por 100 para obtener el porcentaje de cambio.
¿Cómo calcular el porcentaje de una fracción? Divide el numerador entre el denominador de la fracción. Luego multiplica el resultado por 100 para obtener el porcentaje.
¿Cómo calcular el porcentaje de error? Resta el valor real del valor estimado. Divide esa diferencia entre el valor real y multiplica por 100 para obtener el porcentaje de error.
¿Cómo calcular el porcentaje de una cantidad respecto a otra? Divide la cantidad que deseas calcular entre la cantidad total y multiplica por 100 para obtener el porcentaje.
¿Cómo calcular el porcentaje acumulado? Suma todos los porcentajes individuales y calcula el porcentaje total acumulado.
¿Cómo calcular el porcentaje de impuestos? Multiplica la cantidad original por el porcentaje de impuestos y divide entre 100 para obtener la cantidad de impuestos. Luego suma esta cantidad al monto original.
¿Cómo calcular el porcentaje de crecimiento? Resta el valor inicial del valor final. Divide esa diferencia entre el valor inicial y multiplica por 100 para obtener el porcentaje de crecimiento.