Leyes de los Exponentes Ejercicios Resueltos

¿Qué son las leyes de los exponentes?

Las leyes de los exponentes son reglas matemáticas fundamentales que rigen la manipulación de expresiones algebraicas con exponentes. Estas reglas son esenciales en álgebra y resultan útiles para simplificar y operar con términos exponenciales.

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

La ley de la multiplicación de potencias establece que al multiplicar dos potencias con la misma base, se suman los exponentes, mientras que la ley de la división de potencias indica que al dividir potencias con la misma base, se restan los exponentes. La ley del exponente cero establece que cualquier número, excepto el cero, elevado al exponente cero es igual a 1. Otras leyes incluyen la potencia de un producto, la potencia de un cociente y la potencia de una potencia. Estas reglas son esenciales para simplificar expresiones algebraicas y realizar cálculos de manera más eficiente.

A continuación, te presentamos de forma detallada en qué consiste cada una de las leyes y cómo aplicarlas para resolver ejercicios con exponentes.

Leyes de los exponentes ejercicios resueltos

¿Qué son los exponentes?

Los exponentes son una forma de expresar la multiplicación de una expresión por sí misma una determinada cantidad de veces. En términos generales, si \(a\) se multiplica por sí misma \(n\) veces, este producto puede representarse como: \[a\cdot a\cdot,,,\cdot a=a^n\] El exponente indica cuántas veces se realiza la multiplicación de la misma base.

Ley 1. Potencia cero

Cualquier base (excepto el número cero) elevada a la potencia 0, es igual a 1. Es decir, si \(a\) es un número o expresión algebraica de variable real diferente de cero, entonces: \[a^0=1\] Esta ley establece que cualquier base diferente de cero, cuando se eleva a la potencia cero, es igual a 1.

Ley 2. Potencia uno

Cualquier base elevada a la potencia 1, es igual a la misma base. Es decir, si \(a\) es un número o expresión algebraica de variable real, entonces: \[a^1=a\] Esta ley establece que cualquier base elevada a la potencia uno es igual a la misma base.

Ley 3. Potencia negativa

Cualquier base elevada a un exponente negativo es igual al recíproco de la base. El recíproco, también conocido como inverso multiplicativo, es simplemente el inverso de un número. Es decir, si \(a\neq 0\), entonces: \[a^{-m}=\frac{1}{a^m}\] Esta ley establece que un número elevado a una potencia negativa es igual a 1 dividido entre el mismo número elevado a la potencia pero positiva.

Ley 4. Multiplicación de potencias con la misma base

Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, el resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de los exponentes de los factores. Es decir, si \(a\) es un número real, y \(m\) y \(n\) son exponentes, entonces: \[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\] Esta ley establece que en la multiplicación de bases iguales, los exponentes se suman.

Multiplicación de potencias con la misma base ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Realizar la siguiente multiplicación: \[5^2\cdot 5^3\] Solución: Observa que al tratarse de una multiplicación en la que las bases son iguales, los exponentes simplemente se suman. Es decir: \[\begin{aligned}5^2\cdot 5^3&=5^{2+3}\\&=5^5\\&=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\\&=3125\end{aligned}\]

Ejercicio 2. Resolver la siguiente multiplicación: \[9^2\cdot 9\] Solución: Observa que se trata de una multiplicación de bases iguales, por lo tanto, los exponentes simplemente se suman. Es decir: \[\begin{aligned}9^2\cdot 9&=9^2\cdot 9^1\\&=9^{2+1}\\&=9^3\\&=9\cdot 9\cdot 9\\&=729\end{aligned}\]

Ejercicio 3. Hallar el valor de la siguiente multiplicación: \[7^4\cdot 7^{-2}\] Solución: Observa que en la multiplicación, las bases son iguales, mientras que los exponentes son 4 y -2. Utilizando la ley de la multiplicación de exponentes con la misma base, obtenemos: \[\begin{aligned}7^4\cdot 7^{-2}&=7^{4-2}\\&=7^{2}\\&=7\cdot 7\\&=49\end{aligned}\]

Ejercicio 4. Hallar el resultado de la siguiente multiplicación: \[4\cdot 4^{-\frac{1}{2}}\] Solución: En la multiplicación, las bases son iguales, y los exponentes son 1 y -1/2. Aplicando la ley de la multiplicación de exponentes con la misma base, obtenemos: \[\begin{aligned}4\cdot 4^{-\frac{1}{2}}&=4^{1-\frac{1}{2}}\\&=4^{\frac{1}{2}} \end{aligned}\]

Ley 5. División de potencias con la misma base

Cuando se dividen dos potencias de la misma base, el resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividendo y la del divisor. Es decir, si \(a\) es un número real, y \(m\) y \(n\) son exponentes, entonces: \[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\] Esta ley establece que en la división de bases iguales, los exponentes se restan.

División de potencias con la misma base ejercicios resueltos

Ejercicio 5. Realizar la siguiente división: \[\frac{6^5}{6^3}\] Solución: Al tratarse de una división en la que las bases son iguales, los exponentes simplemente se restan. Es decir: \[\begin{aligned}\frac{6^5}{6^3}&=6^{5-3}\\&=6^2\\&=6\cdot 6\\&=36\end{aligned}\]

Ejercicio 6. Hallar el resultado de la siguiente división: \[\frac{2^4}{2}\] Solución: Observa que se trata de una división en la que el numerador y el denominador tienen la misma base, que en este caso es 2. Los exponentes de cada base son 4 y 1. Aplicando la ley de la división de exponentes con la misma base, obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{2^4}{2}&=\frac{2^4}{2^1}\\&=2^{4-1}\\&=2^3\\&=2\cdot 2\cdot 2\\&=8\end{aligned}\]

Ejercicio 7. Calcular la siguiente división: \[\frac{6^{-2}}{6^{-1}}\] Solución: Observa que la base es 6, y los exponentes son -2 y -1. Aplicando la ley de la división de exponentes con la misma base, obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{6^{-2}}{6^{-1}}&=6^{-2-(-1)}\\&=6^{-2+1}\\&=6^{-1}\\&=\frac{1}{6^1}\\&=\frac{1}{6}\end{aligned}\]

Ley 6. Potencia de una base elevada a otra potencia

Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es la misma base elevada a un exponente igual al producto de las dos potencias. Es decir, si \(a\) es un número real, y \(m\) y \(n\) son exponentes, entonces \[\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\] Esta ley establece que cuando tienes una potencia de una base elevada a otra potencia, los exponentes se multiplican.

Potencia elevada a otra potencia ejercicios resueltos

Ejercicio 8. Desarrollar la siguiente expresión: \[\left(4^2\right)^3\] Solución: Al tratarse de la potencia de una base elevada a otra potencia, los exponentes simplemente se multiplican. Es decir: \[\begin{aligned}\left(4^2\right)^3&=4^{2\cdot 3}\\&=4^6\\&=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\\&=4096\end{aligned}\]

Ejercicio 9. Hallar el valor de la siguiente expresión: \[\left(2^3\right)^{-1}\] Solución: Recuerda que cuando tienes la potencia de una base elevada a otra potencia, simplemente debes multiplicar los exponentes. Es decir: \[\begin{aligned}\left(2^3\right)^{-1}&=2^{3\cdot(-1)}\\&=2^{-3}\\&=\frac{1}{2^3}\\&=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2}\\&=\frac{1}{8}\end{aligned}\]

Ejercicio 10. Resolver la siguiente potencia \[\left(64^{\frac{1}{2}}\right)^{2}\] Solución: Al tratarse de una potencia elevada a otra potencia, los exponentes simplemente se multiplican: \[\begin{aligned}\left(64^{\frac{1}{2}}\right)^{2}&=64^{\frac{1}{2}\cdot(2)}\\&=64^{1}\\&=64\end{aligned}\]

Ley 7. Potencia de un producto

Cuando el producto de dos o más factores se eleva a una potencia, el resultado es el mismo producto, pero con cada factor elevado a la potencia dada. Es decir, si \(a\) y \(b\) son números reales y \(m\) un exponente, entonces: \[\left(a\cdot b\right)^m=a^m\cdot b^m\]

Potencia de un producto ejercicios resueltos

Ejercicio 11. Resolver la siguiente potencia \[\left(5\cdot 2\right)^{2}\] Solución: Observa que se tiene una multiplicación de los factores 5 y 2, y el exponente de este producto es 2. Por lo tanto, el resultado de este producto será igual al producto de cada factor elevado a la potencia 2. Es decir: \[\begin{aligned}\left(5\cdot 2\right)^{2}&=5^2\cdot 2^2\\&=25\cdot 4\\&=100\end{aligned}\]

Ley 8. Potencia de un cociente

Cuando un cociente se eleva a una potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el dividendo y el divisor elevados a la potencia dada. Es decir, si \(a\) y \(b\) son números reales, donde \(b\neq 0\) y \(m\) es un exponente, entonces: \[\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}\]

Potencia de un cociente ejercicios resueltos

Ejercicio 12. Hallar la solución de la siguiente potencia \[\left(\frac{9}{2}\right)^{3}\] Solución: Observa que se tiene un cociente elevado a una potencia. De acuerdo con la ley 8, el resultado de este cociente será igual al cociente en el que el dividendo y el divisor están elevados a la potencia dada. Es decir: \[\begin{aligned}\left(\frac{9}{2}\right)^3&=\frac{9^3}{2^3}\\&=\frac{729}{8}\\&=91.125\end{aligned}\]

Exponente fraccionario

Un exponente fraccionario, también conocido como exponente fraccional, se utiliza para indicar la potenciación de una base a una potencia no entera. En otras palabras, un exponente fraccionario se emplea para calcular raíces o potencias fraccionarias de un número. Cuando se tiene una expresión definida como: \[a^{\frac{p}{q}}\] \(a\) es la base, \(\frac{p}{q}\) es el exponente fraccional, \(p\) es el numerador y \(q\) es el denominador de la fracción. Esto significa que la base \(a\) está elevada a la potencia \(\frac{p}{q}\). El resultado de esta operación es igual a la raíz \(q\) de \(a\) elevada a la potencia \(p\), es decir: \[a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}\] Las potencias de exponente fraccionario cumplen las mismas propiedades que las potencias de exponente entero que vimos anteriormente.

Exponente fraccionario ejercicios resueltos

Ejercicio 13. \[\begin{aligned}2^{\frac{1}{2}}&=\sqrt[2]{2^1}=\sqrt{2}\\4^{\frac{3}{2}}&=\sqrt[2]{4^3}=\sqrt{64}\\4^{\frac{2}{3}}&=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}\end{aligned}\]

Ejercicio 14. Calcular el resultado de la siguiente operación con potencias \[2^{\frac{1}{3}}\cdot2^{\frac{4}{3}}\] Solución: \[\begin{aligned}2^{\frac{1}{3}}\cdot2^{\frac{4}{3}}&=2^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\\&=2^{\frac{5}{3}}\\&=\sqrt[3]{2^5}\end{aligned}\]

Ejercicio 15. Hallar el valor de la siguiente operación con potencias \[\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2}\] Solución: \[\begin{aligned}\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2}&=2^{\frac{1}{2}-1}\\&=2^{-\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}\]

Leyes de los exponentes ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Simplificar la expresión \[(2^3)^{-2}\] Solución: Primero, observa que la expresión representa la potencia de una base elevada a otra potencia. Podemos aplicar la ley de la potencia de una base elevada a otra potencia, la cual nos indica que los exponentes simplemente se multiplican. Es decir: \[\begin{aligned}(2^3)^{-2}&=2^{3\cdot(-2)}\\&=2^{-6}\end{aligned}\] Ahora, observa que se tiene una base elevada a un exponente negativo. Podemos aplicar la ley de la potencia negativa, la cual indica que una base elevada a una potencia negativa es igual a 1 dividido entre la base elevada a la misma potencia pero positiva. Es decir: \[\begin{aligned}2^{-6}&=\frac{1}{2^6}\\&=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}\\&=\frac{1}{64}\end{aligned}\] De esta manera concluimos que: \[(2^3)^{-2}=\frac{1}{64}\]

Ejercicio 2. Simplificar la siguiente expresión \[\frac{5^4\cdot3^4}{15^2}\] Solución: Observa que se trata de una división en la que no hay términos comunes entre el divisor y el dividendo. Sin embargo, el divisor se puede escribir como el producto de dos factores elevados a una potencia, es decir: \[(15)^2=(5\cdot3)^2\] Ahora, aplicando la ley de la potencia de un producto, que nos indica que cada factor del producto debe elevarse a la misma potencia, obtenemos: \[(5\cdot3)^2=5^2\cdot 3^2\] Por lo tanto, la expresión queda de la siguiente manera: \[\frac{5^4\cdot3^4}{15^2}=\frac{5^4\cdot3^4}{5^2\cdot3^2}\] Observa que esta última expresión se puede ver como un producto de dos fracciones, es decir: \[\frac{5^4\cdot 3^4}{5^2\cdot 3^2}=\frac{5^4}{5^2}\cdot\frac{3^4}{3^2}\] Ahora, cada fracción tiene el mismo numerador y el mismo denominador. Aplicando la ley de la potencia de un cociente, que nos indica que los exponentes simplemente se restan, obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{5^4}{5^2}\cdot\frac{3^4}{3^2}&=5^{4-2}\cdot3^{4-2}\\&=5^2\cdot3^2\\&=25\cdot9\\&=225\end{aligned}\] De esta manera, concluimos que: \[\frac{5^4\cdot3^4}{15^2}=25\]

Ejercicio 3. Aplicando las leyes de los exponentes hallar el valor de la siguiente expresión \[\left[\left((5)^3\right)^4\right]^2\] Solución: Observa que se trata una expresión en la que la base 5 está elevada a la potencia 3, y esta expresión está elevada a la potencia 4, y a su vez, está elevada a la potencia 2. Es decir, se tiene una base elevada a una potencia, elevada a otra potencia, y elevada a otra potencia más. Para resolver esto, simplemente debemos aplicar la ley de la potencia de una base elevada a otra potencia, la cual indica que los exponentes simplemente se deben multiplicar. Es decir: \[\begin{aligned}\left[\left((5)^3\right)^4\right]^2&=5^{3\cdot4\cdot2}\\&=5^{24}\end{aligned}\]

Leyes de los exponentes ejercicios para practicar

Ejercicio 1. Multiplicación de potencias con la misma base: Simplifica la siguiente expresión. Aplica la ley de los exponentes adecuada y proporciona la respuesta en términos de \(a\). \[a^3 \cdot a^5\]

Ejercicio 2. División de potencias con la misma base: Resuelve la siguiente expresión: Utiliza la ley de los exponentes correspondiente y da la respuesta en términos de \(b\). \[\frac{b^7}{b^4}\]

Ejercicio 3. Potencia de un producto: Calcula el valor de la siguiente expresión usando la ley de los exponentes. Proporciona la respuesta en términos de \(c\) y \(d\). \[(c\cdot d)^4\]

Ejercicio 4. Potencia de una potencia: Simplifica la siguiente expresión. Aplica la ley de los exponentes correspondiente y presenta la respuesta en su forma más simple. \[\left(x^3\right)^2\]

Ejercicio 5. Exponente fraccional: Simplifica la siguiente expresión usando la ley de los exponentes fraccionales. Proporciona la respuesta en términos de \(w\). \[\sqrt{w^4}\]

Ejercicio 6. Operaciones combinadas: Resuelve la siguiente expresión utilizando las leyes de los exponentes. Proporciona la respuesta en su forma más simple. \[2^3 \cdot 2^{-2} \div 2^4\]

Ejercicio 7. Aplicación de práctica: Supongamos que tienes una bacteria que se duplica cada hora. Si inicialmente tienes 100 bacterias, ¿cuántas tendrás después de 5 horas? Expresa esto en términos de una expresión exponencial y luego evalúa el resultado.

Preguntas frecuentes sobre las leyes de los exponentes

¿Qué son las leyes de los exponentes y por qué son importantes en matemáticas? Las leyes de los exponentes son reglas que nos permiten simplificar y operar con expresiones que involucran potencias. Son fundamentales en matemáticas porque facilitan la manipulación de términos con exponentes y ayudan a resolver problemas en álgebra, cálculo y otras ramas de las matemáticas.

¿Cuál es la ley de la multiplicación de exponentes con la misma base? La ley de la multiplicación de exponentes establece que al multiplicar dos términos con la misma base, simplemente sumamos sus exponentes para obtener el exponente del resultado, es decir: \[a^n\cdot a^m=a^{(n+m)}\]

¿Cuál es la ley de la división de exponentes con la misma base? La ley de la división de exponentes establece que cuando dividimos dos términos con la misma base, podemos restar el exponente del divisor del exponente del dividendo. Por ejemplo: \[\frac{a^n}{a^m}= a^{(n-m)}\]

¿Cómo se manejan los exponentes negativos en las operaciones matemáticas? Un exponente negativo indica que la base se encuentra en el denominador. Para convertir un exponente negativo en positivo, se coloca la base en el denominador y se cambia el signo del exponente. Por ejemplo: \[x^{-2}=\frac{1}{x^2}\]

¿Qué ocurre cuando una base con exponente se eleva a otra potencia? Cuando una base con exponente se eleva a otra potencia, los exponentes se multiplican, es decir: \[(a^n)^m = a^{(n\cdot m)}\]

¿Cuál es la regla para simplificar exponentes fraccionarios o racionales? Para simplificar un exponente fraccionario, se puede aplicar la propiedad de la raíz: a^(p/q) es equivalente a la raíz q-ésima de a^p. Por ejemplo: \[x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}\]

¿Cómo se aplican las leyes de los exponentes en la simplificación de expresiones algebraicas? En la simplificación de expresiones algebraicas, las leyes de los exponentes nos permiten combinar términos con bases iguales y operar con ellos de manera más eficiente. Esto es especialmente útil en la resolución de ecuaciones y en la simplificación de polinomios.