Integrales impropias

¿Qué son las integrales impropias?

Las integrales impropias son integrales definidas que cubren un área no acotada. Un tipo de integrales impropias son las aquellas en las que al menos uno de los puntos extremos se extiende al infinito. Otro tipo de integrales impropias son las integrales cuyos puntos extremos son finitos, pero la función integrada no está acotada en uno o los dos extremos.

Integral impropia de primera clase

Sea \(b\in\mathbb{R}\) tal que \(b<\infty\), supongamos que \(f\) es integrable en el intervalo \([a,b]\), es decir \(f\) es integrable en el intervalo \([a,\infty)\), definimos la integral impropia de primera clase como:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]

Si el límite existe diremos que la integral impropia es convergente, si no existe el límite, diremos que la integral impropia es divergente.

Integral impropia de segunda clase

Sea \(\epsilon\in\mathbb{R}\) tal que \(\epsilon>0\), supongamos que \(f\) es integrable en el intervalo \([a,b-\epsilon]\) o en el intervalo \([a+\epsilon,b]\) y además supongamos que \(f\) no está acotada en \([a,b)\) o en \((a,b]\), definimos la integral impropia de segunda clase como:

\[\begin{aligned}\int_{a}^{b}f(x)dx&=\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\int_{a+\epsilon}^{b} f(x)dx\\\int_{a}^{b}f(x)dx&=\lim_{\epsilon\to 0^{-}}\int_{a}^{b-\epsilon}f(x)dx\end{aligned}\]

Si el límite existe diremos que la integral impropia es convergente, si no existe el límite, diremos que la integral impropia es divergente.