¿Qué es el teorema fundamental del cálculo?
El teorema fundamental del cálculo es un teorema que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos presenta una manera de evaluar integrales definidas.
Teorema fundamental del cálculo parte 1
Teorema. Si \(f\) es una función continua en el intervalo cerrado \([a, b]\) y \(x\) es cualquier punto en el intervalo, y la función \(F(x)\) se puede definir como: \[\begin{aligned}F(x)&=\int_a^xf(t)dt\end{aligned}\] Entonces: \[F'(x)=f(x)\]
En otras palabras, observa que se tiene la integral definida que va desde un valor constante \(a\) hasta la variable \(x\) de una función \(f\) que depende de la variable \(t\), a esta integral se le define como \(F(x)\), es decir, \[F(x)=\int_a^xf(t)dt\] Observa que si derivamos con respecto a \(x\) en ambos miembros de la igualdad el resultado es la misma función \(f\) que dependía de la variable \(t\), pero ahora dependerá de la variable \(x\), es decir, \[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\left[\int_a^xf(t)dt\right]\\&=f(x)\end{aligned}\]
Esto muestra que la derivada de la integral de una función es esa misma función. La aplicación de este teorema es aparentemente sencilla, ya que sólo tenemos que sustituir la variable \(t\) por la variable \(x\) en la función que estamos integrando. Ver ejemplos.
Teorema fundamental del cálculo parte 1 ejemplos
Ejemplo 1. Utilizar el teorema fundamental del cálculo parte 1, para hallar la
derivada de la función \(F\) definida como:
\[\begin{aligned}F(x)=\int_1^x\frac{t^2}{1+t^2} dt\end{aligned}\] Solución:
Observa que se nos pide hallar la derivada de la función \(F(x)\), es decir,
hallar \(F'(x)\), de esta manera:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\left[\int_1^x\frac{t^2}{1+t^2}dt\right]\end{aligned}\]
De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo parte 1, sabemos que
\(F'(x)=f(x)\), esto indica que debemos hallar la función \(f(x)\). Observa
que en este caso la función \(f\) está definida como
\[f(t)=\frac{t^2}{1+t^2}\] Para hallar \(f(x)\) solamente tenemos que
sustituir la variable \(t\) por la variable \(x\) en la función \(f(t)\), es
decir, \[f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\] De esta manera hemos encontrado la derivada
de la integral que buscábamos, es decir que,
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\left[\int_1^x\frac{t^2}{1+t^2}dt\right]\\&=\frac{x^2}{1+x^2}\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Utiliza el teorema fundamental del cálculo parte 1, para hallar la
derivada de la función \(G\) definida como:
\[\begin{aligned}G(r)=\int_0^r\sqrt{x^2+4}dx\end{aligned}\] Solución: Observa
que se nos pide hallar la derivada de la función \(G(r)\), es decir, hallar
\(G'(r)\), de esta manera:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dr}G(r)=\frac{d}{dr}\left[\int_0^r\sqrt{x^2+4}dx\right]\end{aligned}\]
De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo parte 1, sabemos que
\(G'(r)=g(r)\), esto indica que a partir de ahora falta hallar la función
\(g(r)\). Observa que en este caso la función \(g\) está definida como
\[g(x)=\sqrt{x^2+4}\] Para hallar \(g(r)\) solamente tenemos que sustituir la
variable \(x\) por la variable \(r\) en la función \(g(x)\), es decir,
\[g(r)=\sqrt{r^2+4}\] De esta manera hemos encontrado la derivada de la
integral que buscábamos, es decir:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dr}G(r)&=\frac{d}{dr}\left[\int_0^r\sqrt{x^2+4}dx\right]\\&=\sqrt{r^2+4}\end{aligned}\]
Ejemplo 3. Utilizar el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para hallar
la derivada de la función \(F\) definida como:
\[\begin{aligned}F(x)=\int_x^{-5}\cos{(t^2+1)}dt\end{aligned}\] Solución: Es
importante recordar que, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, la
función \(F(x)\) está definida como la integral definida que va desde un valor
constante \(a\) hasta un valor \(x\), donde \(x\) está en el intervalo
\(\left[a, b\right]\), es decir, \[F(x)=\int_a^xf(t)dt\] De acuerdo con esto,
queremos hallar la derivada de la función \(F(x)\) definida como
\[F(x)=\int_x^{-5}\cos{(t^2+1)}dt\] Observa que los límites de integración van
desde \(x\) hasta el valor constante \(-5\) y para poder aplicar el teorema
fundamental del cálculo deberían ir desde el valor constante \(-5\) hasta
\(x\), para cambiar de orden los límites de integración usamos la siguiente
propiedad de las integrales definidas: \[\int_a^{b}=-\int_{b}^{a}\] Aplicando
esta propiedad obtenemos:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\left[\int_x^{-5}\cos{(t^2+1)}dt\right]\\&=\frac{d}{dx}\left[-\int_{-5}^x\cos{(t^2+1)}dt\right]\\&=-\frac{d}{dx}\left[\int_{-5}^{x}\cos{(t^2+1)}dt
\right]\end{aligned}\]
De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, parte 1, sabemos que
\(F'(x)=f(x)\), esto indica que a partir de ahora falta hallar la función
\(f(x)\).Observa que en este caso la función \(f\) está definida como:
\[f(t)=\cos{(t^2+1)}\] Para hallar \(f(x)\) solamente tenemos que sustituir la
variable \(t\) por la variable \(x\)en la función \(f(t)\), es decir,
\[f(x)=\cos(x^2+1)\] De esta manera hemos encontrado la derivada de la
integral que buscábamos, pero no olvides el signo negativo, este aparece
afuera de la derivada por lo que afecta a la función \(f(x)\), es decir,
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=-\frac{d}{dx}\left[\int_{-5}^{x}\cos{(t^2+1)}dt\right]\\&=-\cos{(x^2+1)}\end{aligned}\]
Ejemplo 4. Utilizar el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para hallar
la derivada de la función \(F\) definida como:
\[\begin{aligned}F(x)=\int_x^{-2}-t^2dt\end{aligned}\] Solución: Observa que
se nos pide hallar la derivada de la función \(F(x)\), es decir, hallar
\(F'(x)\), de esta manera:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\left[\int_x^{-2}-t^2dt\right]\end{aligned}\]
Observa que los límites de integración van desde \(x\) hasta el valor
constante \(-2\), pero para poder aplicar el teorema fundamental del cálculo
deberían ir desde el valor constante \(-2\) hasta \(x\), entonces para cambiar
el orden de los límites de integración usamos nuevamente la propiedad
mencionada en el ejemplo \(3\). Aplicando esta propiedad obtenemos:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\left[\int_x^{-2}-t^2dt\right]\\&=\frac{d}{dx}\left[-\int_{-2}^x-t^2dt\right]\\&=-\frac{d}{dx}\left[\int_{-2}^{x}-t^2dt
\right]\end{aligned}\]
De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, parte 1, sabemos que
\(F'(x)=f(x)\), esto indica que a partir de ahora falta hallar la función
\(f(x)\). Observa que en este caso la función \(f\) está definida como
\[f(t)=-t^2\] Para hallar \(f(x)\) solamente tenemos que sustituir la variable
\(t\) por la variable \(x\) en la función \(f(t)\), es decir, \[f(x)=-x^2\] De
esta manera hemos encontrado la derivada de la integral que buscábamos, pero
no olvides el signo negativo, este aparece afuera de la derivada por lo que
afecta a la función \(f(x)\), es decir,
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=-\frac{d}{dx}\left[\int_{-2}^{x}-t^2dt\right]\\&=-(-x^2)\\&=x^2\end{aligned}\]
Teorema fundamental del cálculo parte 2
Teorema. Si \(f\) es una función continua en un intervalo cerrado \([a, b]\) y si \(F\) es una antiderivada de la función \(f\) en el intervalo \([a, b]\), entonces: \[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\] A la diferencia \(F(b)-F(a)\) por lo general se le denota como \(F(x)\Big|_{a}^{b}\), de modo que la expresión del teorema fundamental del cálculo se puede escribir de la siguiente manera: \[\begin{aligned}\int_{a}^{b}f(x)\,dx&=F(b)-F(a)\\&=F(x) \Big|_{a}^{b}\end{aligned}\]
Teorema fundamental del cálculo parte 2 ejemplos
Ejemplo 5. Evaluar la siguiente integral \[\int_{0}^{2}xdx\] Solución: De
acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, parte 2, debemos encontrar una
primitiva o antiderivada de la función \(f(x)=x\), es decir hallar la función
\(F(x)\). De acuerdo con la fórmula 3 de la sección integrales directas o
inmediatas, la antiderivada o primitiva de \(f(x)=x\) es la función
\(F(x)=\frac{x^2}{2}\), por lo tanto, obtenemos:
\[\begin{aligned}\int_{0}^{2}x\,dx&=\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{2}\\&=\frac{(2)^2}{2}-\frac{(0)^2}{2}\\&=\frac{4}{2}-\frac{0}{2}\\&=2-0\\&=2\end{aligned}\]
Ejemplo 6. Evaluar la siguiente integral
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}\,dx\] Solución: De acuerdo con el teorema
fundamental del cálculo, parte 2, debemos encontrar primero una primitiva o
antiderivada de la función \(f(x)=\cos{x}\), es decir hallar la función
\(F(x)\). De acuerdo con la fórmula 6 de la sección integrales directas o
inmediatas, la antiderivada o primitiva de \(f(x)=\cos{x}\) es la función
\(F(x)=\sin{x}\), por lo tanto, obtenemos:
\[\begin{aligned}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}\,dx&=\sin{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\sin{\frac{\pi}{2}}-\sin{0}\\&=1-0\\&=1\end{aligned}\]
Ejemplo 7. Evaluar la siguiente integral \[\int_{2}^{3}\frac{1}{x}dx\]
Solución: De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo debemos encontrar
una primitiva o antiderivada de la función \(f(x)=\frac{1}{x}\), es decir
hallar la función \(F(x)\). De acuerdo con la fórmula 4 de la sección
integrales directas o inmediatas, la antiderivada o primitiva de
\(f(x)=\frac{1}{x}\) es la función \(F(x)=\ln{|x|}\), por lo tanto, obtenemos:
\[\begin{aligned}\int_{2}^{3}\frac{1}{x}\,dx&=\ln{|x|}\Big|_{2}^{3}\\&=\ln{|3|}-\ln{|2|}\\&=\ln{3}-\ln{2}\\&=\ln{\frac{3}{2}}\end{aligned}\]