¿Cómo resolver ecuaciones algebraicas?
Resolver una ecuación algebraica es hallar el o los valores de las incógnitas
que verifican la igualdad de la ecuación. Comúnmente al proceso de hallar la
solución de una ecuación también se le denomina "hallar las raíces de la
ecuación".
¿Alguna vez te has preguntado por qué los términos e incógnitas de una
ecuación se pueden despejar para hallar la solución? y ¿Cómo se deben realizar
de manera correcta estos despejes? Si es así, entonces debes conocer el axioma
fundamental de las ecuaciones. Este principio es la clave para entender cómo
se resuelven las ecuaciones y cómo se aplican las operaciones algebraicas para
encontrar la solución correcta.
En este artículo, te explicamos en detalle qué es el axioma fundamental de las
ecuaciones, las reglas que se derivan de este axioma y cómo puedes aplicarlo
para resolver tus propias ecuaciones. Lo mejor de todo es que te explicamos
con ejemplos ¡Comenzamos!
Axioma fundamental de las ecuaciones
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, entonces los
resultados serán iguales.
Este axioma es fundamental porque nos permite manipular ecuaciones matemáticas
y resolver problemas de manera sistemática y rigurosa. Por ejemplo, si
queremos encontrar el valor de una variable en una ecuación, podemos aplicar
las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación hasta que la variable
esté aislada en un lado. Sin el axioma fundamental de las ecuaciones, no
podríamos estar seguros de que las operaciones que realizamos para resolver la
ecuación sean válidas. Las reglas que se derivan de este axioma se presentan a
continuación.
Regla 1 del axioma fundamental de las ecuaciones
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad, positiva
o negativa, la igualdad se mantiene.
Ejemplo 1. Dada la siguiente ecuación \[5x+9=x+4\] La regla 1 nos dice lo
siguiente: Si sumamos cualquier término positivo o negativo a ambos miembros
de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Es decir, está permitido sumar un
término positivo o negativo, pero solo si se suma en ambos miembros de la
ecuación al mismo tiempo. De esta manera, la igualdad de la ecuación seguirá
siendo válida. Para ilustrar esta regla, veamos un ejemplo: Si queremos sumar
el término positivo +5 a la ecuación dada, lo haremos sumándole en ambos
miembros de la ecuación de la siguiente manera:
\[\begin{aligned}5x+9&=x+4\\5x+9+(+5)&=x+4+(+5)\\5x+9+5&=x+4+5\\5x+14&=x+9\end{aligned}\]
Ahora bien, si deseamos sumar un término negativo a la ecuación, por ejemplo
el término -7, lo haremos sumando el mismo valor en ambos miembros de la
ecuación de la siguiente manera:
\[\begin{aligned}5x+9&=x+4\\5x+9+(-7)&=x+4+(-7)\\5x+9-7&=x+4-7\\5x-2&=x-3\end{aligned}\]
Nota 1. Más adelante veremos el motivo por el cual estaremos interesados en
sumar términos positivos y negativos a una ecuación.
Regla 2 del axioma fundamental de las ecuaciones
Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad se mantiene.
Ejemplo 2. Dada la siguiente ecuación \[5x+9=x+4\] La regla 2 nos dice lo
siguiente: Si restamos cualquier término positivo o negativo a ambos miembros
de una ecuación, la igualdad se conserva. Es decir, está permitido restar un
término positivo o negativo, pero solo si lo restamos en ambos miembros de la
ecuación al mismo tiempo. De esta manera, la igualdad de la ecuación seguirá
siendo válida. Para ilustrar esta regla, veamos el siguiente ejemplo: Si
queremos restar el término positivo +5 a la ecuación, lo haremos restándole en
ambos miembros de la ecuación de la siguiente manera:
\[\begin{aligned}5x+9&=x+4\\5x+9-(+8)&=x+4-(+8)\\5x+9-8&=x+4-8\\5x+1&=x-4\end{aligned}\]
Ahora bien, si deseamos restar un término negativo a la ecuación, por ejemplo
el término -2, lo haremos restando el mismo valor en ambos miembros de la
ecuación de la siguiente manera:
\[\begin{aligned}5x+9&=x+4\\5x+9-(-2)&=x+4-(-2)\\5x+9+2&=x+4+2\\5x+11&=x+6\end{aligned}\]
Regla 3 del axioma fundamental de las ecuaciones
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica por una misma
cantidad, positiva o negativa, la igualdad se mantiene.
Ejemplo 3. Dada la siguiente ecuación \[5x+9=x+4\] La regla 3 nos dice lo
siguiente: Si multiplicamos por cualquier término positivo o negativo a ambos
miembros de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Es decir, está permitido
multiplicar por algún término positivo o negativo, pero solo si se multiplica
en ambos miembros de la ecuación al mismo tiempo. De esta manera, la igualdad
de la ecuación seguirá siendo verdadera. Para ilustrar esta regla, veamos el
siguiente ejemplo: Si queremos multiplicar por el término positivo +7 a la
ecuación, lo haremos multiplicándole en ambos miembros de la ecuación de la
siguiente manera:
\[\begin{aligned}5x+9&=x+4\\(+7)[5x+9]&=(+7)[x+4]\\
35x+63&=7x+28 \end{aligned}\]
Ahora bien, si deseamos multiplicar la ecuación por un término negativo, por
ejemplo -4, lo haremos de la siguiente manera:
\[\begin{aligned}5x+9&=x+4\\(-4)[5x+9]&=(-4)[x+4]\\
-20x-36&=-4x-16\end{aligned}\]
Regla 4 del axioma fundamental de las ecuaciones
Si a los dos miembros de una ecuación se les divide por una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad se mantiene.
Ejemplo 4. Dada la siguiente ecuación \[8x-3=-2x+7\] La regla 4 nos dice lo
siguiente: Si dividimos ambos miembros de una ecuación por cualquier término,
ya sea positivo o negativo y diferente de cero, la igualdad se mantendrá. Es
decir, está permitido dividir por cualquier término, siempre y cuando se
divida en ambos miembros de la ecuación al mismo tiempo. Para que puedas
comprender esta regla, veamos el siguiente ejemplo. Si deseamos dividir ambos
miembros de una ecuación por un término positivo +8, lo haremos de la
siguiente manera:
\[\begin{aligned}8x-3&=-2x+7\\
\frac{8x-3}{(+8)}&=\frac{-2x+7}{(+8)}\\\left[\frac{8x}{+8}\right]-\left[\frac{3}{+8}\right]&=
\left[\frac{-2x}{+8}\right]+\left[\frac{7}{(+8)}\right]\\\left[\frac{8x}{8}\right]-\left[\frac{3}{8}\right]&=
\left[-\frac{2x}{8}\right]+\left[\frac{7}{8}\right]\\x-\frac{3}{8}&=-\frac{x}{4}+\frac{7}{8}\end{aligned}\]
Ahora bien, si deseamos dividir una ecuación por un término negativo, por
ejemplo por -2, lo haremos de la siguiente manera:
\[\begin{aligned} 8x-3&=-2x+7\\ \frac{8x-3}{-2}&=\frac{-2x+7}{-2}\\
\left[\frac{8x}{-2}\right]-\left[\frac{3}{-2}\right]&=
\left[\frac{-2x}{-2}\right]+\left[\frac{7}{-2}\right]\\\left[-\frac{8x}{2}\right]-\left[-\frac{3}{2}\right]&=
\left[\frac{2x}{2}\right]+\left[-\frac{7}{2}\right]\\-4x+\frac{3}{2}&=x-\frac{7}{2}
\end{aligned}\]
Nota 2. Como puedes observar, dividir entre algún término sirve para eliminar
el coeficiente de la incógnita \(x\).
Regla 5 del axioma fundamental de las ecuaciones
Si a los dos miembros de una ecuación se les eleva a una misma potencia, la
igualdad de mantiene.
Ejemplo 5. Dada la siguiente ecuación \[8x-3=2x+7\] Esta regla nos dice lo
siguiente: Si elevamos a una misma potencia ambos miembros de una ecuación, la
igualdad se mantendrá. Es decir, está permitido elevar a una potencia de
número real una ecuación, pero solo si se eleva a la misma potencia a ambos
miembros de la ecuación al mismo tiempo. Por ejemplo, si deseamos elevar al
cuadrado la ecuación dada, lo haríamos elevando al cuadrado cada miembro de la
ecuación, es decir:
\[\begin{aligned}8x-3&=2x+7\\(8x-3)^2&=(2x+7)^2\\(8x-3)(8x-3)&=(2x+7)(2x+7)\\64x^2-48x+9&=4x^2+28x+49
\end{aligned}\]
Solución de una ecuación usando el axioma fundamental de las ecuaciones
Ejemplo. Resolver la siguiente ecuación de primer grado.
\[4x+\frac{5}{2}=x+\frac{1}{2}\] Solución: La idea de hallar la solución a una
ecuación de primer grado es hallar el valor de la incógnita que hace cierta la
igualdad. Aplicando las reglas del axioma fundamental de la ecuaciones
obtenemos lo siguiente. De acuerdo con la regla 1, podemos sumar el término
negativo -1/2 en ambos miembros de la ecuación, esto para eliminar el término
constante 1/2 del segundo miembro, es decir:
\[\begin{aligned}4x+\frac{5}{2}&=x+\frac{1}{2}\\4x+\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)&=x+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)\\4x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}&=x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\4x+\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)&=x+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\\4x+\frac{4}{2}&=x+0\\4x+2&=x\end{aligned}\]
De acuerdo con la regla 2, podemos restar el término positivo +2 en ambos
miembros de la ecuación, esto para eliminar el término constante +2 del primer
miembro, es decir:
\[\begin{aligned}4x+2&=x\\4x+2-(+2)&=x-(+2)\\4x+2-2&=x-2\\4x+(2-2)&=x-2\\4x+0&=x-2\\4x&=x-2\end{aligned}\]
Nuevamente, de acuerdo con la regla 1, podemos sumar el término negativo
\(-x\) en ambos miembros de la ecuación, esto para eliminar el término \(+x\)
del segundo miembro, es decir:
\[\begin{aligned}4x&=x-2\\4x+(-x)&=x-2+(-x)\\4x-x&=x-2-x\\4x-x&=(x-x)-2\\3x&=0-2\\3x&=-2\end{aligned}\]
De acuerdo con la regla 4 podemos dividir ambos miembros de la ecuación por el
término positivo +3, esto para eliminar el coeficiente de la incógnita \(x\),
es decir:
\[\begin{aligned}3x&=-2\\\frac{3x}{3}&=\frac{-2}{3}\\x&=-\frac{2}{3}\end{aligned}\]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \[x=-\frac{2}{3}\]
Como podrás observar, aplicar el axioma fundamental de las ecuaciones consiste
básicamente en realizar las mismas operaciones en ambos miembros de la
ecuación hasta encontrar el valor numérico de la incógnita. Sin embargo, debes
tener en cuenta que aplicar este axioma paso a paso puede resultar ser algo
laborioso, por lo cual el método efectivo para hallar la solución a una
ecuación es usar la regla general. Es importante que sepas que los pasos de la
regla general para hallar la solución a una ecuación se basan en el axioma
fundamental de las ecuaciones. Antes de conocer los pasos de la regla general
para hallar la solución a una ecuación es necesario dar a conocer los
siguientes procedimientos.
La transposición de términos
La transposición de términos consiste en intercambiar los términos de una
ecuación entre sus miembros. Cualquier término que se encuentre en un miembro
de la ecuación se puede pasar al otro miembro de la ecuación cambiándole el
signo.
Ejemplo 6. Supongamos que tenemos la ecuación \[11x-3=8x+16\] La transposición
de términos consiste simplemente en intercambiar los términos de una ecuación
de un miembro a otro, pero al hacerlo, estos términos deben aparecer con el
signo opuesto. Por ejemplo, observa la ecuación dada: el término +8x que
aparece en el segundo miembro, al pasarlo al primer miembro, lo colocaremos
como -8x, es decir, ahora tendríamos la siguiente ecuación:
\[\begin{aligned}11x-3&=8x+16\\11x-3-8x&=16\\(11x-8x)-3&=16\\3x-3&=16\end{aligned}\]
Observa que el término +8x que estaba en el segundo miembro de la ecuación, ha
pasado al primer miembro con signo \(-\), en esto consiste la transposición de
términos.
Eliminación de términos semejantes
Los términos semejantes (términos iguales) con signos iguales en distinto
miembro de una ecuación, pueden simplemente eliminarse.
Ejemplo 7. Dada la siguiente ecuación \[6y+8=2y+a+8\] La eliminación de
términos semejantes consiste básicamente en observar la ecuación y, si existe
un mismo término en ambos miembros, este puede simplemente eliminarse de la
ecuación. Por ejemplo, en la ecuación dada, como podrás observar, el término
que aparece en ambos miembros es el +8, por lo que este puede simplemente
eliminarse, quedando la ecuación de la siguiente manera: \[6y=2y+a\]
Ejemplo 8. Dada la ecuación \[x^2+5x+6=x^2-9\] Observa que el término
semejante que aparece en ambos miembros es el término \(+x^2\), por lo que
este término puede eliminarse quedando simplemente la ecuación: \[5x+6=-9\]
Cambio de signos en una ecuación
Los signos de cada uno de los términos de una ecuación se pueden cambiar sin
que la ecuación varíe. El cambio de signo en una ecuación consiste en
intercambiar de positivo a negativo o de negativo a positivo los signos de
todos los términos de una ecuación.
Ejemplo 9. Dada la ecuación \[5x^2+x+2=x-9\] Si queremos cambiar de signos
esta ecuación, cambiaríamos el signo de cada término, es decir, ahora
tendríamos la ecuación:
\[-5x^2-x-2=-x+9\]
Nota 3. Es importante observar que realizar un cambio de signo a una ecuación
equivale a multiplicar por -1 a ambos miembros de la ecuación, esto es válido
de acuerdo con la regla 3, es decir:
\[\begin{aligned}5x^2+x+2&=x-9\\
(-1)\left[5x^2+x+2\right]&=(-1)\left[x-9\right]\\-5x^2-x-2&=-x+9
\end{aligned}\]
Regla general para hallar la solución a una ecuación
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas, si las hay. Por ejemplo, sumar,
restar, multiplicar o dividir los términos que se puedan.
Paso 2. Realizar la transposición de términos, separar en un miembro de la
ecuación todos los términos que contenga a la incógnita y en otro miembro
todas las cantidades conocidas.
Paso 3. Reducir términos semejantes en cada miembro.
Paso 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita.
Solución de una ecuación usando la regla general para hallar la solución a una
ecuación
Ejemplo 10. Resolver la siguiente ecuación de primer grado.
\[4x+\frac{5}{2}=x+\frac{1}{2}\] Solución: Recuerda que la idea de hallar la
solución a una ecuación de primer grado es hallar el valor de la incógnita que
hace cierta la igualdad. De acuerdo con el paso 2, debemos realizar la
transposición de términos, es decir, separar en un miembro todos los términos
que involucran a la incógnita \(x\) y en el otro miembro todos los términos
constantes. Recuerda que, al cambiar un término de un miembro a otro, este
cambia de signo. Por lo general se colocan en el primer miembro los términos
que involucran a la incógnita y en el segundo miembro los términos constantes,
por lo tanto, tendremos:
\[\begin{aligned}4x+\frac{5}{2}&=x+\frac{1}{2}\\4x-x&=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\end{aligned}\]
Efectuando las operaciones en cada miembro obtenemos:
\[\begin{aligned}4x-x&=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\\3x&=-\frac{4}{2}\\3x&=-2\end{aligned}\]
De acuerdo con el paso 4, para dejar sola a la incógnita \(x\), debemos
dividir ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, en
este caso debemos dividir por +3, es decir:
\[\begin{aligned}3x&=-2\\\frac{3x}{3}&=-\frac{2}{3}\\x&=-\frac{2}{3}\end{aligned}\]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \[x=-\frac{2}{3}\]