Definición de mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo común de dos o más números.
Para comprender con mayor claridad esta definición, es necesario conocer el significado de los siguientes conceptos: valor mínimo, valor común y múltiplo de un número.
Valor mínimo
En matemáticas, un valor mínimo es el valor más pequeño de un conjunto de datos.
Ejemplo 1. Sea \(A\) un conjunto de números definido como: \[A=\left\lbrace 4, 6, 8, 10, 12\right\rbrace\] El valor mínimo de este conjunto es el número 4, ya que es el valor más pequeño de todos los elementos.
Ejemplo 2. Sea \(B\) el conjunto de números definido como: \[B=\left\lbrace 11, 4, 9, 1, 5, 7\right\rbrace\] El valor mínimo es el número 1, ya que es el valor más pequeño de todos los elementos que conforman al conjunto.
Valor común
En teoría de conjuntos, un valor común es aquel o aquellos valores que se encuentran en dos o más conjuntos a la vez.
Ejemplo 3. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos de números definidos como: \[\begin{aligned}A&=\left\lbrace 2, 4, 6, 8\right\rbrace\\B&=\left\lbrace 1, 3, 4, 5, 7, 9\right\rbrace\end{aligned}\] El valor común es el número 4, ya que este aparece en ambos conjuntos.
Ejemplo 4. Sean \(C\) y \(D\) los conjuntos de números definidos por: \[\begin{aligned}C&=\left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \right\rbrace\\D&=\left\lbrace 1, 3, 5, 7, 9\right\rbrace\end{aligned}\] En este caso, los valores comunes son los números 1, 3 y 5, ya que estos aparecen en ambos conjuntos a la vez.
Múltiplo de un número
Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen al multiplicar dicho número por cada uno de los números naturales.
Números naturales
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto y se representan como: \[\mathbb{N}=\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots\right\rbrace\]
¿Cómo calcular los múltiplos de un número?
Ejemplo 5. Calcula los primeros 6 múltiplos del número 2.
Solución: Para obtener los primeros 6 múltiplos del número 2, simplemente debes multiplicar al 2 por los primeros 6 números naturales, es decir, \[\begin{aligned}2\times1&=2\\2\times2&=4\\2\times3&=6\\2\times4&=8\\2\times5&=10\\2\times6&=12\end{aligned}\]
Así, los primeros 6 múltiplos del 2 son: \[\left\lbrace 2, 4, 6, 8, 10, 12\right\rbrace\]
Ejemplo 6. Calcula los primeros 6 múltiplos del número 3.
Solución: Nuevamente, para obtener los primeros 6 múltiplos del 3, simplemente tienes que multiplicar al 3 por los primeros 6 números naturales, es decir: \[\begin{aligned}3\times1&=3\\3\times2&=6\\3\times3&=9\\3\times4&=12\\3\times5&=15\\3\times6&=18\end{aligned}\]
Por lo tanto, los primeros 6 múltiplos del 3 son: \[\left\lbrace 3, 6, 9, 12, 15, 18 \right\rbrace\]
En general, los múltiplos de un número son infinitos ya que existen infinitos números naturales, pero en estos ejemplos solo se ha pedido calcular los primeros 6 múltiplos.
Es importante destacar que los primeros 10 múltiplos de los números del 1 al 10 se agrupan en las tablas de multiplicar. ¿Lo habías notado?
Ahora que conoces el significado de valor mínimo, valor común y múltiplo de un número, veamos cómo aplicar estos conceptos para determinar el mínimo común múltiplo de dos números.
Mínimo común múltiplo de dos números
El mínimo común múltiplo de dos números es el número más pequeño que es múltiplo de ambos al mismo tiempo.
Ejemplo 7. Determina el mínimo común múltiplo de 2 y 3.
Solución. El mínimo común múltiplo lo podemos determinar a partir de los conceptos y ejemplos previamente estudiados. En el ejemplo 5 y 6 obtuvimos que los primeros seis múltiplos de 2 y 3 son: \[\begin{aligned}A&=\left\lbrace 2, 4, 6, 8, 10, 12 \right\rbrace\\B&=\left\lbrace 3, 6, 9, 12, 15, 18 \right\rbrace\end{aligned}\]
Ahora, observa que los múltiplos en común entre ambos conjuntos son los números 6 y 12, ya que estos son los únicos que aparecen en ambos conjuntos.
Ahora bien, el valor más pequeño de estos múltiplos comunes corresponde al mínimo común múltiplo. En este caso es el número 6, ya que 6 es menor que 12.
Por lo tanto, concluimos que el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. En otra notación, tendremos:\[mcm(2, 3)=6\]
Como podrás observar, esta es una manera de hallar el mínimo común múltiplo de dos números. Sin embargo, este procedimiento se vuelve complicado al intentar encontrar el mínimo común múltiplo de números grandes. Esto se debe a que, para determinar los múltiplos, sería necesario realizar multiplicaciones cada vez más extensas hasta identificar los primeros que sean comunes. A partir de estos múltiplos comunes, se puede entonces determinar el mínimo común múltiplo.
A continuación, examinemos un método más sencillo que permite determinar el mínimo común múltiplo de dos o más números mediante la descomposición en factores primos de dichos números.
Mínimo común múltiplo de dos o más números
El método efectivo para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números se basa en descomponer dichos números en el producto de sus factores primos (descomposición factorial), elegir los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, y finalmente multiplicar estos factores. Este procedimiento se resume en una serie de 3 pasos.
- Paso 1. Descomponer en factores primos cada número.
- Paso 2. Elegir los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.
- Paso 3. Multiplicar los factores elegidos.
Descomposición factorial
La descomposición factorial de un número consiste en expresar dicho número como el producto de uno o varios números primos.
Ejemplo 8. Descomponer en factores primos el número 150.
Solución: Traza una línea vertical, en la parte superior izquierda coloca el dividendo (150) y del lado derecho coloca el divisor (factor primo más pequeño que divida de manera exacta al dividendo), el cociente resultante colócalo debajo del dividendo. Repite el proceso de división hasta que el cociente sea 1
La siguiente imagen ilustra este procedimiento.
De esta manera obtenemos que los factores primos de 150 son 2, 3 y 5, así el 150 se puede escribir como el producto de estos factores primos considerando la cantidad de veces que estos aparecen, es decir: \[\begin{aligned}150&=2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\\&=2\cdot 3\cdot 5^2\end{aligned}\]
Ejemplo 9. Descomponer en factores primos el número 180.
Solución: Para realizar la descomposición en factores primos traza una línea vertical, del lado izquierdo coloca el dividendo (180) y del lado derecho el divisor (menor divisor primo), el cociente de la división se coloca debajo del dividendo. Repite el proceso de división hasta que el cociente sea 1.
La siguiente imagen muestra detalladamente este procedimiento.
De esta manera obtenemos que los factores primos de 180 son 2, 3 y 5, de tal forma que el 180 lo podemos escribir como el producto de estos factores primos, es decir, la factorización prima de 180 es: \[\begin{aligned}180&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 5\\&=2^2\cdot 3^2\cdot 5\end{aligned}\]
Ahora que hemos aprendido a factorizar un número, es decir, a escribirlo como el producto de sus factores primos, veamos un ejemplo completo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo de dos números
Mínimo común múltiplo de dos o más números ejercicios resueltos
Ejercicio 1. Halla el mínimo común múltiplo (mcm) de 150 y 180.
Solución: Para hallar el mínimo común múltiplo de 150 y 180 seguimos los siguientes pasos:
- Paso 1. Descomponer en factores primos los números 150 y 180.
- Paso 2. Elegir los factores comunes y no comunes elevados a la MAYOR POTENCIA.
- Paso 3. Multiplicar los factores elegidos.
En el ejemplo 7 y 8 obtuvimos que la descomposición en factores primos de 150 y 180 es: \[\begin{aligned}150&=2\cdot3\cdot5\cdot5\\&=2\cdot3\cdot5^2\\180&=2\cdot3\cdot3\cdot2\cdot5\\&=2^2\cdot3^2\cdot5\end{aligned}\]
Para el segundo paso debemos elegir los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia. En este caso los factores comunes son el 2, 3 y 5, de los cuales elegimos los que están elevados a la mayor potencia, es decir, elegimos \(2^2\), \(3^2\) y \(5^2\).
Para el tercer paso simplemente debemos multiplicar estos valores elegidos, es decir, \[2^2\cdot3^2\cdot5^2\]
De esta manera, el mínimo común múltiplo de 150 y 180 es: \[\begin{aligned}mcm (150, 180)&=2^2\cdot3^2\cdot5^2\\&=4\cdot9\cdot25\\&=100\cdot9\\&=900\end{aligned}\]