¿Qué es la jerarquía de las operaciones?
La jerarquía de las operaciones es una regla matemática que establece el orden
correcto en el que se deben realizar las operaciones aritméticas en una
expresión numérica.
Operaciones aritméticas
Las operaciones básicas o elementales de la aritmética son la adición (suma),
la sustracción (resta), la multiplicación y la división. Las operaciones
aritméticas se clasifican como directas e indirectas. Las operaciones
aritméticas directas son: Suma, multiplicación y potenciación. Las operaciones
aritméticas indirectas son: Resta, división y la raíz.
¿Qué es una expresión numérica?
Una expresión numérica es un conjunto de números combinados con símbolos
aritméticos. Una expresión numérica también puede contener signos de
agrupación tales como los paréntesis, los corchetes y las llaves. Por ejemplo:
- \(5+4-9+3\)
- \(12\div4\times9\)
- \(2+5^2+(-5)^2\)
- \(2+3\times 6-5\div5\)
- \(5+\left\lbrace[(4\times 9)-6]\div2\right\rbrace\)
Entonces, si estás aquí es porque seguramente tienes la duda sobre ¿Qué
operación aritmética se realiza primero para hallar el resultado de una
expresión numérica? Aplicar la jerarquía de las operaciones es la clave para
obtener el resultado correcto. Aquí encontrarás en qué consiste y cómo aplicar
esta importante regla matemática. Así que ¡no te preocupes! Después de leer el
artículo, serás un experto resolviendo expresiones numéricas.
¿Por qué es importante el orden?
Imagina que tengas que resolver la siguiente expresión numérica: \[2+3\times
6-5\div5\] Observa que la expresión involucra la operación de suma, resta,
multiplicación y división. Para hallar el valor numérico de la expresión
surgen las siguientes preguntas: ¿Qué operación aritmética se debe realizar
primero? y ¿En qué dirección se deben realizar estas operaciones? Veamos si el
orden en el que se realizan las operaciones es importante.
Si primero realizamos las operaciones de suma y resta, y luego realizamos la
multiplicación y división, obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}2+3\times6-5\div5&=(2+3)\times(6-5)\div5\\&=5\times1\div5\\&=(5\times1)\div
5\\&=5\div 5\\&=1\end{aligned}\]
Ahora vemos que ocurre si primero realizamos la multiplicación y división, y
luego la suma y la resta:
\[\begin{aligned}2+3\times6-5\div5&=2+(3\times6)-(5\div5)\\&=2+18-1\\&=(2+18)-1\\&=20-1\\&=19\end{aligned}\]
Como podrás observar, el resultado obtenido en ambos casos es diferente. Por
lo tanto, es evidente que el orden en el que se realizan las operaciones
aritméticas es importante, ya que de este orden depende la obtención del
resultado correcto. Pero, ¿cuál es el orden correcto en el que deben
efectuarse las operaciones aritméticas?
Orden de las operaciones
El orden correcto en el que se deben efectuar las operaciones aritméticas es
el siguiente:
- 1° Multiplicación: \(\times\)
- 2° División: \(\div\)
- 3° Suma: \(+\)
- 4° Resta: \(-\)
Estas operaciones aritméticas de deben realizar de izquierda a derecha.
Consejo: En expresiones numéricas que no involucran signos de agrupación
(paréntesis, corchetes y llaves), te recomiendo que primero agrupes las
multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen (de izquierda a
derecha) utilizando paréntesis. Esto te ayudará a determinar qué estas
operaciones son las que debes realizar primero. Después de resolver lo que
hayas agrupado, es probable que solo te queden sumas y restas, las cuales
puedes resolver fácilmente de izquierda a derecha.
Jerarquía de las operaciones ejercicios resueltos
Ejemplo 1. Resolver la siguiente expresión numérica \[5+3\times4\] Solución:
Primero, observa que la expresión numérica involucra únicamente la operación
de suma y multiplicación. De acuerdo con el orden de las operaciones, primero
debemos resolver la multiplicación y luego la suma. Esto se debe a que no hay
operaciones de división ni resta involucradas en la expresión numérica. Por lo
tanto, de la expresión numérica, primero realizamos la multiplicación
\(3\times4\):
\[\begin{aligned}5+3\times 4&=5+(3\times4)\\&=5+12\end{aligned}\]
Ahora que tenemos solo la suma, procedemos a sumar:
\[\begin{aligned}5+12=17\end{aligned}\] Concluimos entonces
que:\[5+3\times4=17\]
Ejemplo 2. Resolver la siguiente expresión numérica \[3\times 9-5\] Solución:
Observa que la expresión numérica involucra únicamente la operación de
multiplicación y resta. De acuerdo con el orden de las operaciones, primero se
debe resolver la multiplicación y luego la resta. Esto debido a que no hay
operaciones de división y suma en la expresión. Por lo tanto, de la expresión
numérica, primero realizamos la multiplicación \(3\times 9\):
\[\begin{aligned}3\times 9-5&=(3\times9)-5\\&=27-5\end{aligned}\]
Ahora que tenemos únicamente la resta, procedemos a restar:
\[\begin{aligned}27-5=22\end{aligned}\] Concluimos entonces que: \[3\times
9-5=22\]
¡Los siguientes dos ejemplos son importantes!
Ejemplo 3. Resolver la siguiente expresión numérica.\[12\div3\times4\]
Solución. De acuerdo con el orden de las operaciones, primero se debe resolver
la multiplicación y luego la división. Sin embargo, también debes tener en
cuenta que las operaciones aritméticas se realizan de izquierda a derecha. Por
lo tanto, se debe realizar primero la división, ya que esta operación aparece
primero de izquierda a derecha, y luego la multiplicación. De esta manera,
tendremos lo siguiente:
\[\begin{aligned}12\div3\times4&=(12\div3)\times
4\\&=4\times4\\&=16\end{aligned}\]
Por lo tanto, 16 es el resultado correcto de la expresión numérica.
Ejemplo 4. Resolver la siguiente expresión numérica.\[3-5+4\] Solución. De
acuerdo con el orden de las operaciones, primero se debe resolver la suma y
luego la resta, pero al igual que en el ejemplo anterior, debes tomar en
cuenta que las operaciones aritméticas se realizan de izquierda a derecha. Por
lo tanto, se debe realizar primero la resta, ya que esta operación aparece
primero de izquierda a derecha, y luego la suma. De esta manera, obtenemos lo
siguiente:
\[\begin{aligned}3-5+4&=(3-5)+4\\&=-2+4\\&=2\end{aligned}\]
Por lo tanto 2, es el resultado correcto de la expresión numérica.
Ejemplo 5. Resolver la siguiente expresión numérica.\[6\div 2+5\times 3-1\]
Solución. Observa que la expresión involucra las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división. De acuerdo con el orden de las operaciones, primero
debemos resolver las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y
luego resolver las sumas y restas también de izquierda a derecha. Entonces,
comenzaremos por agrupar con paréntesis las operaciones que debemos realizar
primero. Luego de agrupar procedemos a resolver las operaciones que se han
agrupado: \[\begin{aligned}6\div 2+5\times 3-1&=(6\div
2)+(5\times3)-1\\&=3+15-1\\&=(3+15)-1\\&=18-1\\&=17\end{aligned}\]
Por lo tanto, 17 es el resultado correcto de la expresión numérica.
Ejemplo 6. Resolver la siguiente expresión numérica.\[8+2\times 3+7-6\div2\]
Solución. Observa que la expresión involucra las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división. De acuerdo con el orden de las operaciones, primero
debemos resolver las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y
luego resolver las sumas y restas también de izquierda a derecha. Entonces,
\[\begin{aligned}8+2\times 3+7-6\div 2&=8+(2\times 3)+7-(6\div
2)\\&=8+6+7-3\\&=(8+6+7)-3\\&=21-3\\&=18\end{aligned}\]
Por lo tanto, 18 es el resultado correcto de la expresión numérica.
Jerarquía de las operaciones con signos de agrupación
Los signos de agrupación en una expresión numérica indican que la expresión
dentro de ellos se debe realizar primero. Los signos de agrupación son:
Paréntesis \(\left(\hspace{0.2cm}\right)\), corchetes
\(\left[\hspace{0.2cm}\right]\) y llaves
\(\left\lbrace\hspace{0.2cm}\right\rbrace\). El orden en el que se deben
resolver las expresiones numéricas con signos de agrupación es:
- 1° Resolver las operaciones que estén dentro de los paréntesis.
- 2° Resolver las operaciones que estén dentro de los corchetes.
- 3° Resolver las operaciones que estén dentro de las llaves.
Nota 1: Las expresiones numéricas dentro de cualquier signo de agrupación se
resuelven aplicando el orden de las operaciones. Las expresiones numéricas con
signos de agrupación siempre se resuelven desde el signo de agrupación más
interno hacia el más externo. Una vez que se han realizado todas las
operaciones dentro de un signo de agrupación, dicho signo desaparece.
Jerarquía de las operaciones con signos de agrupación ejercicios resueltos
Ejemplo 7. Resolver la siguiente expresión numérica.\[-1\times(9-11)\]
Solución. La expresión involucra un signo de agrupación, por lo que primero
debemos resolver lo que hay dentro del signo y luego continuar con el resto de
las operaciones. Entonces:
\[\begin{aligned}-1\times(9-11)&=-1\times(-2)\\&=-1\times
-2\\&=2\end{aligned}\]
Ejemplo 8. Resolver la siguiente expresión numérica.\[2+[(5\times 3)-1]\]
Solución. Observa que la expresión involucra dos signos de agrupación:
paréntesis y corchetes. De acuerdo con la jerarquía de operaciones con signos
de agrupación, primero debe resolverse todo lo que hay dentro de los
paréntesis y luego se procede a resolver todo lo que hay dentro de los
corchetes. Entonces:
\begin{aligned}2+[(5\times
3)-1]&=2+[(15)-1]\\&=2+[15-1]\\&=2+14\\&=16\end{aligned}
Ejemplo 9. Resolver la siguiente expresión numérica.\[\left\lbrace
[(6-3)\times 7]\div 3\right\rbrace\] Solución. Observa que la expresión
involucra tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. De
acuerdo con la jerarquía de operaciones con signos de agrupación, primero debe
resolverse todo lo que hay dentro de los paréntesis, luego todo lo que hay
dentro de los corchetes y, por último, se procede a resolver todo lo que hay
dentro de las llaves. Entonces:
\[\begin{aligned}\left\lbrace [(6-3)\times 7]\div
3\right\rbrace&=\left\lbrace [(3)\times 7]\div
3\right\rbrace\\&=\left\lbrace [3\times 7]\div
3\right\rbrace\\&=\left\lbrace [21]\div
3\right\rbrace\\&=\left\lbrace 21\div
3\right\rbrace\\&=7\end{aligned}\]