La integral indefinida
La integral indefinida es un concepto fundamental en cálculo y análisis
matemático. Se representa comúnmente con el símbolo \(\int\) y se utiliza para
denotar el proceso de encontrar una función primitiva o antiderivada de otra
función dada. En otras palabras, la integral indefinida invierte el proceso de
derivación.
Dada una función \(f(x)\), la integral indefinida de \(f(x)\) con respecto a
\(x\) se denota como: \[\int f(x)\,dx\], y se lee "la integral indefinida de
\(f(x)\) con respecto a \(x\)." La función resultante se llama primitiva o
antiderivada de la función \(f(x)\) y se denota comúnmente como \(F(x)+C\). La
notación matemática es la siguiente: \[\int f(x) \,dx = F(x) + C\] donde \(C\)
es una constante arbitraria llamada constante de integración.
A continuación, te presentamos el concepto de primitiva o antiderivada de una
función. Además, explicaremos en qué consiste y por qué es importante la
constante de integración \(C\).
Primitiva de una función
Una función \(F\left(x\right)\) se denomina primitiva o antiderivada de la
función \(f\left(x\right)\) si la derivada de la función \(F\left(x\right)\)
es igual a \(f\left(x\right)\), es decir, si
\[\frac{d}{dx}F\left(x\right)=f\left(x\right)\] Para comprender mejor esta
definición, observa los siguientes ejemplos.
Primitiva de una función ejemplos
Ejemplo 1. La función \(F\) definida como \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\) es una
primitiva o antiderivada de la función \(f(x)=x^2\), ya que:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F\left(x\right)&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right)\\&=\frac{1}{3}\left(\frac{d}{dx}x^3\right)\\&=\frac{1}{3}\left(3x^2\right)\\&=x^2\\&=f(x)\end{aligned}\]
Ejemplo 2. La función \(G\) definida como \(G\left(x\right)=\ln{x}\) es una
primitiva o antiderivada de la función \(g\left(x\right)=\frac{1}{x}\), ya que
cumple:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}G\left(x\right)&=\frac{d}{dx}\left(\ln{x}\right)\\&=\frac{1}{x}\\&=g(x)\end{aligned}\]
Ejemplo 3. La función \(H\) definida como \(H\left(x\right)=-\cos{x}\) es una
primitiva o antiderivada de la función \(h\left(x\right)=\sin{x}\), ya que al
derivarla obtenemos:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}H\left(x\right)&=\frac{d}{dx}\left(-\cos{x}\right)\\&=-\left(\frac{d}{dx}\cos{x}\right)\\&=-\left(-\sin{x}\right)\\&=\sin{x}\\&=h(x)\end{aligned}\]
Ejemplo 4. Consideremos la función \(J(x) = \frac{1}{2}x^2\). Si calculamos su
derivada, obtendremos lo siguiente:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}J(x)&=\frac{d}{dx}\frac{1}{2}x^2\\&=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}x^2\\&=\frac{1}{2}2x\\&=\frac{2x}{2}\\&=x\end{aligned}\]
Si definimos el resultado de esta derivada como una nueva función, por
ejemplo, \(j(x) = x\), entonces \(J(x)\) es una primitiva de la función
\(j(x)=x\), ya que al derivar \(J(x)\), se obtiene \(j(x)\).
¿Qué es la integración?
Al proceso de encontrar primitivas o antiderivadas se le llama antiderivación
o más comúnmente integración. Si una función \(f(x)\) tiene primitiva, es
decir, existe \(F(x)\), entonces tiene infinitas primitivas, todas ellas de la
forma \(F(x)+C\). Esto se escribe como:
\[\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\]
El símbolo \(\begin{aligned}\int\end{aligned}\) se conoce como el signo de
integral. A la función \(f(x)\) se le llama integrando, mientras que \(dx\)
representa el diferencial de \(x\) e indica la variable respecto a la cual se
está integrando. La constante \(C\) se le denomina constante de integración.
La expresión \[\int f(x)dx\] se lee: “la integral indefinida de la función
\(f(x)\) con respecto a \(x\)”.
La constante de integración
Veamos qué ocurre si a una función primitiva \(F\left(x\right)\) se le agrega
un término de valor constante \(C\). Si a la función \(F\) del ejemplo 1
definida como \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\) se le agrega un término de valor
constante, por ejemplo \(C=4\), se obtiene la
función:\[F(x)=\frac{1}{3}x^3+4\] En el ejemplo 1 comprobamos que la función
\(F(x)\) definida como \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\) es una primitiva de la función
\(f(x)=x^2\). Veamos entonces que ocurre si ahora derivamos la función
\(F(x)=\frac{1}{3}x^3+4\)
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}
F\left(x\right)&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3+4\right)
\\&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right)+\frac{d}{dx}4\\&=\frac{1}{3}\left(\frac{d}{dx}x^3\right)+\frac{d}{dx}4\\&=\frac{1}{3}\left(3x^2\right)+0\\&=\frac{1}{3}\left(3x^2\right)\\&=x^2\\&=f(x)\end{aligned}\]
Como se puede observar, al derivar \(F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+4\), se
obtiene nuevamente la función \(f\left(x\right)=x^2\). Esto indica que
\(F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+4\) también es una primitiva de la función
\(f\left(x\right)=x^2\). Este ejemplo ilustra que una función puede tener más
de una primitiva. En general, si \(F\left(x\right)\) es una primitiva de
\(f\left(x\right)\) y \(C\) es una constante de valor real, entonces
\(F\left(x\right)+C\) también es una primitiva de \(f\left(x\right)\), debido
a que la derivada de una constante es cero, es decir,
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dx}\left[F\left(x\right)+C\right]&=\frac{d}{dx}F\left(x\right)+\frac{d}{dx}C\\&=f\left(x\right)+0\\&=f\left(x\right)\end{aligned}\]
Propiedades de la integral indefinida
La integral indefinida es una operación matemática que se utiliza para
encontrar una función primitiva o antiderivada de una función dada. Las
integrales indefinidas tienen tres propiedades básicas que son heredadas de
las propiedades de las derivadas. A continuación, te presentamos las
propiedades fundamentales de la integral indefinida:
Integral indefinida de una suma de funciones
Propiedad 1. Integral indefinida de una suma de funciones:
\[\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\]
Esta propiedad establece que la integral indefinida de la suma de funciones es
igual a la suma de las integrales indefinidas de esas funciones. Esta
propiedad puede aplicarse a más de dos funciones. De manera más precisa:
\[\begin{aligned}
\int\left[f_{1}\left(x\right)+f_{2}\left(x\right)+...+f_{n}\left(x\right)\right]
dx=\int f_{1}\left(x\right)dx+\int f_{2}\left(x\right)dx+...+\int
f_{n}\left(x\right)dx\end{aligned}\]
Integral indefinida de una suma de funciones ejemplos
Ejemplo 4. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas como \(f(x)=x^{2}\) y
\(g(x)=x\). Calcular la siguiente integral indefinida:
\[\int\left[f(x)+g(x)\right]dx\] Solución: De acuerdo con la propiedad 1, la
integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las
integrales indefinidas de cada función, por lo tanto, tendremos que:
\[\begin{aligned}\int [f(x)+g(x)]dx&=\int (x^2+x)dx\\&=\int
x^2dx+\int
xdx\\&=\left(\frac{x^3}{3}+C_1\right)+\left(\frac{x^2}{2}+C_2\right)\\&=\frac{x^3}{3}+C_1+\frac{x^2}{2}+C_2\\&=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)+\left(C_1+C_2\right)\\&=\frac{2x^3+3x^2}{6}+C_3\end{aligned}\]
La suma de las constantes \(C_{1}\) y \(C_{2}\) es nuevamente un valor
constante, por lo que a esta suma le denominamos simplemente \(C_{3}\).
Ejemplo 5. Calcular la siguiente integral indefinida: \[\int(\sqrt{x}+1)dx\]
Solución: Observa que en el integrando se tiene una suma de dos sumandos, en
el que cada sumando lo podemos interpretar como una función. De acuerdo con la
propiedad 1, la integral indefinida de una suma es igual a la suma de las
integrales indefinidas de cada función, por lo tanto:
\[\begin{aligned}\int\left(\sqrt{x}+1\right)dx&=\int\sqrt{x}dx+\int
1dx\\&=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+C_{1}\right)+\left(x+C_{2}\right)\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}+C_{1}+x+C_{2}\\&=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+x\right)+(C_1+C_2)\\&=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+x\right)+C_{3}\end{aligned}\]
La suma de las constantes \(C_{1}\) y \(C_{2}\) es nuevamente un valor
constante, por lo que a esta suma le denominamos \(C_{3}\).
Ejemplo 6. Calcular la siguiente integral indefinida: \[\int
\left(\frac{x^2+x+1}{x}\right)dx\] Solución: Observa que en el integrando se
tiene una fracción algebraica en la que cada término del numerador se puede
dividir entre el denominador, es decir, \[\int
\left(\frac{x^2}{x}+\frac{x}{x}+\frac{1}{x}\right)dx\] Aplicando la propiedad
1, obtenemos:
\[\begin{aligned}\int \left(\frac{x^2+x+1}{x}\right) \, dx&=\int
\left(\frac{x^2}{x}+\frac{x}{x}+\frac{1}{x}\right)dx\\&=\int\left(
x+1+\frac{1}{x}\right)dx\\&=\int xdx+\int
1dx+\int\frac{1}{x}dx\\&=\left(\frac{x^2}{2}+C_{1}\right)+\left(x+C_{2}\right)+\left(\ln{x}+C_{3}\right)\\&=\frac{x^2}{2}+C_1+x+C_2+\ln{x}+C_3\\&=\left(\frac{x^2}{2}+x+\ln{x}\right)+\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)\\&=\frac{x^2}{2}+x+\ln{x}+C_{4}\end{aligned}\]
La suma de las constantes \(C_1\), \(C_2\) y \(C_3\) es nuevamente una
constante a la que denominamos como \(C_4\).
Ejemplo 7. Calcular la siguiente integral indefinida: \[\int(\sin x+\cos
x)dx\] Solución: Aplicando la propiedad de la integral indefinida de una suma
de funciones, obtenemos:
\[\begin{aligned}\int(\sin{x}+\cos{x})dx&=\int\sin{x}dx+\int\cos{x}dx\\&=(-\cos{x}+C_1)+(\sin{x}+C_2)\\&=-\cos{x}+C_1+\sin{x}+C_2\\&=-\cos{x}+\sin{x}+(C_1+C_2)\\&=\sin{x}-\cos{x}+C_{3}\end{aligned}\]
La suma de las constantes \(C_1\) y \(C_2\) es nuevamente una constante, la
cual escribimos como \(C_3\).
Integral indefinida de una diferencia de funciones
Propiedad 2. Integral indefinida de una diferencia de funciones:
\[\int\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\]
Esta propiedad establece que la integral indefinida de una diferencia de
funciones es igual a la diferencia de las integrales indefinidas de cada
función. Esta propiedad puede aplicarse a más de dos funciones. De manera más
precisa:
\[\begin{aligned}\int\left[f_{1}\left(x\right)-f_{2}\left(x\right)-...-f_{n}\left(x\right)\right]
dx=\int f_{1}\left(x\right)dx-\int f_{2}\left(x\right)dx-...-\int
f_{n}\left(x\right)dx\end{aligned}\]
Integral indefinida de una diferencia de funciones ejemplos
Ejemplo 8. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas como
\(f\left(x\right)=\sqrt{x}\) y \(g\left(x\right)=\frac{1}{x}\). Calcular la
siguiente integral indefinida: \[\int\left[f(x)-g(x)\right]dx\] Solución. De
acuerdo con la propiedad 2, la integral indefinida de una diferencia de
funciones es igual a la diferencia de las integrales indefinidas de cada
función, de tal manera que:
\[\begin{aligned}\int\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx&=\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)dx\\&=\int\sqrt{x}dx-\int\frac{1}{x}dx\\&=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+C_{1}\right)-\left(\ln{x}+C_{2}\right)\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}+C_1-\ln{x}-C_2\\&=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\ln{x}\right)+\left(C_{1}-C_{2}\right)\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\ln{x}+C_{3}\end{aligned}\]
La diferencia de las constantes \(C_1\) y \(C_2\) es nuevamente una constante
a la que escribimos como \(C_3\).
Ejemplo 9. Calcular la siguiente integral
indefinida.\[\int\left(\cos{x}-\sin{x}\right)dx\] Solución: Aplicando la
propiedad de la integral indefinida de una diferencia de funciones, obtenemos:
\[\begin{aligned}\int\left(\cos{x}-\sin{x}\right)dx&=\int\cos{x}
dx-\int\sin{x}dx\\&=\left(\sin{x}+C_{1}\right)-\left(-\cos{x}+C_{2}\right)\\&=\sin{x}+C_1+\cos{x}-C_2\\&=\sin{x}+\cos{x}+\left(C_{1}-C_{2}\right)\\&=\sin{x}+\cos{x}+C_{3}\end{aligned}\]
La diferencia de los valores constantes \(C_1\) y \(C_2\) es nuevamente un
valor constante al que denominamos \(C_3\).
Ejemplo 10. Calcular la integral indefinida.\[\int (x^2-2x-1)dx\] Solución: De
acuerdo con la propiedad 2, tenemos que:
\[\begin{aligned} \int(x^2-x-1)dx&=\int x^2dx-\int xdx-\int
1dx\\&=\left(\frac{1}{3}x^3+C_1\right)-\left(\frac{1}{2}x^2+C_2\right)-(x+C_3)\\&=\frac{1}{3}x^3+C_1-\frac{1}{2}x^2-C_2-x-C_3\\&=\left(\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{2}x^2-x\right)+(C_1-C_2-C_3)\\&=\left(\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{2}x^2-x\right)+C_4\end{aligned}\]
La diferencia entre las constantes \(C_1\), \(C_2\) y \(C_3\) es, de nuevo,
una constante que escribimos como \(C_4\).
Integral indefinida del producto de una constante por una función
Propiedad 3. Integral indefinida del producto de una constante por una
función. Si \(k\) es una constante de valor real y \(f\) es una función,
entonces:
\[\int\left[k f\left(x\right)\right]dx=k\int f\left(x\right)dx\]
Esta propiedad establece que la integral indefinida del producto de una
constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral
indefinida de la función. En otras palabras, un factor constante \(k\) puede
ser sacado del signo de la integral indefinida.
Integral indefinida del producto de una constante por una función ejemplos
Ejemplo 11. Sea la función \(f\) definida por \(f(x)=\cos {x}\) y sea \(k=4\)
una constante. Calcular la integral indefinida: \[\int kf(x)\] Solución. De
acuerdo con la propiedad 3, la integral indefinida del producto de una
constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral
indefinida de la función, de tal manera que:
\[\begin{aligned}\int \left[kf(x)\right]dx&=\int 4\cos{x}
dx\\&=4\int\cos{x}
dx\\&=4\left(\sin{x}+C_{1}\right)\\&=4\sin{x}+4C_{1}\\&=4\sin{x}+C_{2}\end{aligned}\]
Dado que el producto de la constante \(k=4\) por la constante \(C_1\) es un
valor constante, lo escribimos simplemente como \(C_2\).
Ejemplo 12. Calcular la siguiente integral indefinida.\[\int \frac{9}{2}
x^2dx\] Solución. Observa que en el integrando el valor constante es
\(\frac{9}{2}\). De acuerdo con la propiedad 3, esta constante se puede sacar
de la integral, es decir:
\[\begin{aligned}\int\frac{9}{2} x^2dx&=\frac{9}{2}\int
x^2dx\\&=\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{x^3}{3}+c\right)\\&=\frac{9}{6}\frac{x^3}{3}+\frac{9}{2}C_{1}\\&=\frac{9x^3}{18}+\frac{9}{2}C_{1}\\&=\frac{x^2}{2}+C_{2}\end{aligned}\]
El producto de la constante \(\frac{9}{2}\) por la constante \(C_1\) es
nuevamente un valor constante, por lo que al producto le denominamos
simplemente \(C_2\).
Es importante destacar que no hemos definido una propiedad específica para el
cálculo de la integral indefinida de un producto de funciones, ni una
propiedad para la integral indefinida de un cociente de funciones. Esto se
debe a que no existen tales propiedades para realizar dichas integrales
indefinidas. Mientras que podemos descomponer y tratar por separado las sumas
de funciones, no podemos hacer lo mismo con los productos o las divisiones.
Estos últimos casos suelen requerir técnicas más avanzadas y específicas para
su resolución, como la integración por partes o sustituciones trigonométricas.
Estas técnicas requieren un enfoque más detallado y a menudo implican la
elección estratégica de funciones para que la integral sea más manejable. El
siguiente ejemplo muestra cómo se pueden aplicar las propiedades 1, 2 y 3 para
resolver una integral indefinida.
Propiedades de la integral indefinida ejemplos
Ejemplo 13. Aplique las propiedades de la integral indefinida para calcular la
siguiente integral: \[\int\left(\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{2}x+9\right)dx\]
Solución. Aplicando la propiedad 1 y 2, obtenemos lo siguiente:
\[\int \left(\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{2}x+9\right) \, dx=\int \frac{5}{3}x^3
dx-\int \frac{1}{2}x dx +\int 9 dx\]
Ahora, aplicando la propiedad 3 obtenemos:
\[\begin{aligned}\int \frac{5}{3}x^3 dx-\int \frac{1}{2}x dx +\int 9
dx&=\frac{5}{3}\int x^3 dx-\frac{1}{2}\int x dx +9\int
dx\\&=\frac{5}{3}\left(\frac{x^4}{4}+C_{1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+C_{2}\right)+9\left(x+C_{3}\right)\\&=\frac{5x^4}{12}-\frac{x^2}{4}+9x+C_{4}\end{aligned}\]
Ejemplo 14. Aplicar las propiedades de la integral indefinida para resolver la
siguiente integral:
\[\int\left(\pi\cos{x}+2x-\frac{1}{2}\right)dx\]
Solución: Para resolver esta integral, aplicamos las propiedades de la
integral indefinida paso a paso. Primero, utilizamos la propiedad de la
integral indefinida de una suma y la integral indefinida de una diferencia
para descomponer la integral dada en tres partes:
\[\int\left(\pi\cos{x}+2x-\frac{1}{2}\right)dx=\int\pi\cos{x}dx+\int
2xdx-\int\frac{1}{2}dx\]
Luego, aplicamos la propiedad de la integral indefinida del producto de una
constante por una función para simplificar aún más:
\[\begin{aligned}\int\left(\pi\cos{x}+2x-\frac{1}{2}\right)dx&=\int\pi\cos{x}dx+\int
2xdx-\int\frac{1}{2}dx\\&=\pi\int\cos{x}dx+2\int xdx-\frac{1}{2}\int
dx\end{aligned}\]
Resolviendo cada integral, obtenemos:
\[\begin{aligned}\int\left(\pi\cos{x}+2x-\frac{1}{2}\right)dx&=\pi\int\cos{x}dx+2\int
xdx-\frac{1}{2}\int
dx\\&=\pi\left(\sin{x}\right)+2\left(\frac{x^2}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(x\right)\\&=\pi\sin{x}+x^2-\frac{1}{2}x+C\end{aligned}\]
Donde \(C\) representa la constante de integración.
Propiedades de la integral indefinida ejercicios para practicar
Calcula la integral indefinida en cada uno de los siguientes ejercicios,
aplicando las propiedades adecuadas de la integral indefinida. No olvides
indicar la constante de integración en cada caso.
Ejercicio 1. Calcular la siguiente integral indefinida: \[\int
(4x^3+2x^2-3x)dx\]
Ejercicio 2. Calcular la integral indefinida de la siguiente función:
\[f(x)=5\sin{x}+2\cos{x}\]
Ejercicio 3. Calcula la siguiente integral indefinida: \[\int 6e^x-3ln(x)dx\]
Ejercicio 4. Resuelve la siguiente integral indefinida: \[\int
\frac{2}{x}+3x^2dx\]
Ejercicio 5. Hallar la siguiente integral indefinida: \[\int
7\sqrt{x}+\frac{4}{x})dx\]
Ejercicio 6. Resuelve la siguiente integral indefinida: \[\int
2\sin{x}+4\cos{x}dx\]
Ejercicio 7. Hallar el valor de la integral: \[\int 3\cdot e^xdx\]
Integral indefinida preguntas frecuentes
¿Qué es una integral indefinida? La integral indefinida, denotada como
\(\int f(x)dx\), representa una familia de funciones cuyas derivadas son
iguales a la función dada \(f(x)\). Se expresa comúnmente como \(F(x)+C\),
donde \(F(x)\) es una antiderivada de \(f(x)\) y \(C\) es una constante de
integración.
¿Cuál es la diferencia entre una integral indefinida y una definida?
Mientras que la integral indefinida encuentra una familia de funciones, la
integral definida calcula la acumulación total de una función en un intervalo
específico. La integral indefinida da como resultado una función, mientras que
la definida proporciona un número.
¿Cómo encontrar la antiderivada de una función? Para encontrar la
antiderivada \(F(x)\) de una función \(f(x)\), busca una función cuya derivada
sea igual a \(f(x)\). Utiliza las propiedades de la integral indefinida y no
olvides añadir la constante de integración \(C\).
¿Cuáles son las propiedades de la integral indefinida? Las propiedades
de la integral indefinida corresponden a la integral indefinida de una suma de
funciones, de una diferencia de funciones y del producto de una constante por
una función. Estas propiedades facilitan la tarea de encontrar la integral
indefinida de una función.
¿Qué es la constante de integración y por qué es importante? La
constante de integración \(C\) es una constante arbitraria que se añade al
encontrar la antiderivada. Es esencial porque existen infinitas funciones que
tienen la misma derivada, y la constante refleja esta variabilidad.
¿Hay métodos específicos para resolver ciertos tipos de integrales? Sí,
existen métodos específicos como la sustitución trigonométrica, integración
por partes y fracciones parciales. Estos métodos pueden simplificar la
integración de funciones más complejas.
¿Cómo puedo verificar si mi antiderivada es correcta? Puedes verificar
tu antiderivada derivándola y asegurandote de que el resultado sea la función
original. Si la derivada coincide con la función dada, tu antiderivada es
correcta.
Aplicaciones de la integral indefinida
La integral indefinida es una poderosa herramienta en matemáticas con una
amplia gama de aplicaciones. Permite calcular una variedad de magnitudes, como
áreas, volúmenes, longitudes de curvas, trabajo realizado por una fuerza, masa
de sólidos, momentos de inercia, campo eléctrico, flujo de fluidos a través de
superficies, entre otras.